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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Sa 13.10.2007 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Sei [mm] \gamma & : & \left [0,3 \right] \to & \IC [/mm] der geschlossene Weg, der gegeben ist durch
[mm] \gamma(t)=\left\{\begin{matrix}
3te^{\pi it} , & \mbox{wenn} & t \in \left[0,\bruch{3}{2} \right], \\
3(3-t)e^{\pi it} & \mbox{wenn} & t \in \left[\bruch{3}{2}, 3 \right] \end{matrix} \right. [/mm]
Skizzieren Sie das Bild von [mm] \gamma [/mm]. |
Hallo alle zusammen!
Ich bereite mich gerade auf eine Nachklausur in Analysis IV und diese Aufgabe wurde unter anderem in der Hauptklausur gestellt, bei der ich leider durchgefallen bin. Mein Problem besteht darin, dass ich überhaupt nicht weiß, wie ich die Skizze anfertigen soll. Ich müsste an der Skizze für eine weitere Aufgabenstellung die Umlaufzahlen um [mm] i [/mm] und [mm] -i [/mm] ablesen.
Ich bräuchte einen Tipp, wie ich das Bild von dem Weg skizzieren kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Ich danke schon im voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Sa 13.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Alle Punkte von [mm] e^{i\pi*t} [/mm] liegen auf dem einheitskreis.
bei t=3/2 hat man ihn von der x-Achse ausgehend 3/4 durchlaufen.
2. [mm] r*e^{i\pi*t} [/mm] gibt Kreis mit Radius r
[mm] 3.t*e^{i\pi*t} [/mm] also kontinuierlich wachsender Radius, also Spirale (Archimedische Spirale)
4. (3-t)* [mm] e^{i\pi*t} [/mm] ist dann dasselbe mit sich verkleinermndem Radius, bei t=3 wieder in (0,0)
(wenn du sowas schlecht siehst schreib [mm] e^{i\phi}=cos\phi+isin\phi)
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 Sa 13.10.2007 | | Autor: | Irmchen |
Danke für die Antwort!!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Mo 15.10.2007 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Sei [mm] \gamma : \left[0,3 \right] \to \IC [/mm] der geschlossene Weg, der gegeben ist durch
[mm] \gamma(t) : = \left\{\begin{matrix} 3te^{ \pi it }, & \mbox{wenn } t \in \left[ 0, \bruch{3}{2} \right] \\
3(3-t) e^{ \pi it }, & \mbox{wenn } t \in \left[ \bruch{3}{2} , 3 \right] . \end{matrix}\right. [/mm]
(a) Skizzieren Sie das Bild von [mm] \gamma [/mm].
(b) Lesen Sie an der Skizze die Umlaufzahlen [mm] \nu_{\gamma} (i) [/mm] und [mm] \nu_{\gamma} (-i) [/mm] ab.
(c) Berechnen Sie das Integral
[mm] \integral_{ \gamma } \bruch{ z^2 +4}{(z^2+1)^2} dz [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich habe diese Frage bereits am 13.10 hier ins Forum gestellt mit dem Namen "Wegintegrale" und habe auch schnell eine gute Antwort erhalten. Ich dachte, dass es dann für mich kein Problem ist die Skizze anzufertigen, aber ich hatte mich getäuscht. Ich weiß , dass alle Punkte von [mm] [mm] e^{ \pi i t} [/mm] [/mm ] auf dem Einheitskreis liegen und das Ganze so was wie eine Archimedische Spirale ergibt. Dennoch weiß ich nicht, wenn ich mir der Reihe nach einige t's herauspicke, wie ich das einzeichenen soll.
Die von mir bis jetzt angefertigte Skizze ergibt, dass die Umlaufzahl um i 1 ist, genause wie die um -i. Somit vermute ich, dass auch die Teilaufgabe (b) von mir falsch gelöst wurde!
Und nun zu (c):
Ich weiß erlich gesagt nicht, wie ich da dran gehen soll, ob direkt ne Stmmfunktion suchen, oder mit [mm] \integral_{\gamma} f(z) dz = \integral_{a}^{b} f(\gamma (t)) \gamma ' (t) dt [/mm] arbeiten.
Und kann mir (b) bei der Lösung von (c) irgendwie helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bitte um Hilfe!
Vielen Dank im vorraus!
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Mo 15.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. zur Zeichnung:
zeichne dir den Einheitskreis und darauf die Winkel ca alle 30° [mm] oder\pi/6, [/mm] das entspricht t=1/6, 2/6 usw. dann gehst du auf diesem Radius 3*t raus, also bei 30° 3/6=1/2 bei 90° t=0,5 also 3*0,5=1.5 raus usw immer 30° weiter und immer t/6 =1/2 länger. bis du bei 270° bist. dann bei 300° wieder 1/2 kürzer, usw bis du wieder bei 0° oder t=3 bist.
dann siehst du auch, dass du mit b) recht hast
zu c) habt ihr nicht den Residuensatz gehabt.
der Nenner ist doch [mm] (z-i)^2*(z+i)^2 [/mm] dann hast du einmal für das Integral um i rum [mm] f(z)=(z^2+4)/(z+i)^2 [/mm] und das Residuum von [mm] f(z)/z-i)^2 [/mm] zu berechnen, entsprechend für das Integral um -i
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Mo 15.10.2007 | | Autor: | Irmchen |
Als erstes 1000 - Dank für die Antwort! Ich habe endlich verstanden, wie ich diesen Weg zeichnen kann! Und es funktioniert  .
Und nun zum Aufgabenteil (c):
Ja, wir haben den Residuensatz gehabt und ich habe jetzt den Tipp verfolgt und mit HIlfe des Satzes versucht das Integral zu bestimmen.
So, dass sind jetzt meine Ergebnisse und meine Frage ist jetzt, ob das so stimmt:
Ich habe die folgende Formel benutzt:
[mm] \bruch{1}{2 \pi i } \integral_{\gamma} f(z) dz = \summe_{ c \in S } \nu_{\gamma} (c) Res_{c} (f) [/mm] .
Wobei hier zur Menge S die beiden Singularitäten i und -i gehören.
Dann bekomme ich Folgendes:
[mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{\gamma} \bruch{z^2+4}{(z^2+1)^2} dz = \nu_{\gamma}(i) Res_{i} (f) + \nu_{\gamma}(-i) Res_{-i} (f) = 3 + 3 \\
Denn: \\
Res_{i} ( \bruch{z^2+4}{(z+i)^2} ) = \bruch{1}{1!} g(i) = 3 \\
mit g(z) = z^2 +4 \\ [/mm]
Auf gleiche Weise erhalte ich, dass auch [mm] Res_{-i} = 3 [/mm] ist.
Und somit, dass
[mm] \integral_{\gamma} \bruch{z^2+4}{(z^2+1)^2} dz = 12 \pi i [/mm]
Stimmt das jetzt so, oder liege ich mit meiner Lösung total daneben?
Gruß
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 Mo 15.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast die falsche fkt zum res.
du brauchst z.bsp für [mm] Res_i [/mm] g'(i) mit [mm] g(i)=\bruch{z^2+4}{(z+i)^2(*z-i)^2}*(z-i)^2=\bruch{z^2+4}{(z+i)^2}
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 Mo 15.10.2007 | | Autor: | Irmchen |
Vielen Dank für die schnell Antwort!
Gruß
Irmchen
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