Wegintegrale < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Man berechne das Integral [mm] \integral_{\gamma}\overline{z}dz, [/mm] wobei [mm] \gamma [/mm] folgende Wege bezeichnen soll:
1. [mm] \gamma [/mm] durchläuft genau einmal den Einheitskreis {z [mm] \in \IC [/mm] | |z|=1} im Gegenuhrzeigersinn.
2. [mm] \gamma [/mm] durchläuft genau einmal den Rand des Gebietes M:={z [mm] \in \IC [/mm] | |Rez| [mm] \le [/mm] 1, |Imz| [mm] \le [/mm] 1}.
3. [mm] \gamma [/mm] durchläuft genau einmal den Rand des Gebietes M:={z [mm] \in \IC [/mm] | |Rez| + |Imz| [mm] \le [/mm] 1}. |
Hallo,
ich habe schon im Internet nach Wegintegralen gesucht und habe für 1. so was wie ne Anleitung gefunden:
z(t)= [mm] e^{it}
[/mm]
[mm] \overline{z}(t)=e^{-it}
[/mm]
[mm] \integral_{\gamma}\overline{z}dz [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2*\pi}e^{-it}*e^{it}dt [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2*\pi} [/mm] i dt [mm] =2i\pi
[/mm]
stimmt das oder ist das total falsch?
zu 2. und 3. weiß ich nicht was ich machen soll. Ich weiß nicht wie ich die Grenzen wählen kann und wie ich dazu die Integrale berechne.
Kann mir da wer weiterhelfen?
fg
Chrissi
|
|
| |
|
1. Das hast du richtig gelöst (nur ein [mm]\operatorname{i}[/mm] fehlt beim zweiten Integral).
2. Schreiben wir kanonisch [mm]z = x + \operatorname{i} y[/mm], dann hast du hier alle Punkte [mm]z[/mm] mit [mm]|x| \leq 1[/mm] und [mm]|y| \leq 1[/mm] zu bestimmen. Zeichne dir eine Skizze der Menge. Wenn du erst einmal erkannt hast, was für eine (elementare) Figur das ist, mußt du ihren Rand parametrisieren.
3. Hier lautet die Bedingung [mm]|x| + |y| \leq 1[/mm]. Gehe wie in 2. vor.
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, kommt bei 2. als Wert [mm]8 \operatorname{i}[/mm] heraus und [mm]4 \operatorname{i}[/mm] bei 3.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:13 So 23.05.2010 | | Autor: | chrissi2709 |
Hallo Leopold,
danke für die Antwort;
2. is doch ein Viereck mit Seitenlänge 2 od? aber ich weiß jetzt nich wirklich, was ich damit anfangen soll, oder wie ich daraus n brauchbares Integral bastle.
3. also [mm] |x|+|y|\le1 [/mm] ist doch der Einheitskreis,von -1 bis 1,also:
[mm] \integral_{\gamma}\overline{z}dz=2*\integral_{-1}^{1}e^{-it}*e^{it}*idt=2*\integral_{-1}^{1} [/mm] idt=4i
stimmt des so?
fg
Chrissi
|
|
|
| |
|
Hallo,
2. hab ich ja das Viereck mit Seitenlänge 2, von jeweils -1 bis 1;
aber ich kann doch nicht [mm] 4*\integral_{-1}^{1} [/mm] idt rechnen, was ja integriert und eingesetzt 8i ergeben würde.
3. hab ich doch den Einheitskreis, da [mm] |Rez|+|Imz|=|z|\le1 [/mm] wie schon in 1, nur sind die Grenzen diesmal von -1 bis 1, dann hätte ich
[mm] 2*\integral_{-1}^{1} [/mm] |z|dz = [mm] \integral_{-1}^{1} e^{-it}*e^{it}*idt=4i
[/mm]
stimmt das so oder ist das so falsch?
fg
Chrissi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Mo 24.05.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Nein...
Zur 2:
Das ist aufwendiger als du denkst. Du musst 4 Wege Parametrisieren!
Also hier einen der vier Wege:
Von [mm] z_{1} [/mm] = 1 - i bis [mm] z_{2}= [/mm] 1 + i
(1-i) + t*[(1+i)-(1-i)] = (1-i) + t*2i, t [mm] \in [/mm] [0,1]
Zur 3:
Das Gebiet |Re(z)| + |Im(z)| [mm] \le [/mm] 1 ist doch nicht der Einheitskreis!!! Zeichnen...!
Gruss
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:01 So 23.05.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich erhalte auch 8i bei 2.
(Sorry hab zuerst was anderes raus und wollt es dann melden, darum schreib ich hier jetzt einfach die Bestätigung von 8i...)
Gruss
|
|
|
|
