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| Aufgabe | | Sei $f: [mm] \IC \backslash [/mm] {0} [mm] \to \IC [/mm] $ holomorph und [mm] \gamma [/mm] ein geschlossener Integrationsweg mit [mm] spur(\gamma) \subseteq \IC \backslash [/mm] {0}. Dann gilt [mm] $\integral_{\gamma} [/mm] f(z) dz $ |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich denke, dass diese Aussage falsch ist.
Angenommen, ich nehme eine konstante Funktion $$f(z):= c, c = const.$$
Und die Parametrisierung des Wegs [mm] \gamma: [/mm] $$z(t):[0,1] [mm] \to \IC, [/mm] t [mm] \mapsto e^{2\pi i t}$$
[/mm]
Dann kriege ich als Wegintegral:
$$ [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] c* [mm] 2\pi [/mm] i [mm] e^{2\pi i t} dt\\
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral_{\gamma} [/mm] f(z) dz = [mm] c*(e^2\pi [/mm] i - 1) [mm] \not= [/mm] 0$$
Stimmt das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Di 01.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f: \IC \backslash {0} \to \IC[/mm] holomorph und [mm]\gamma[/mm] ein
> geschlossener Integrationsweg mit [mm]spur(\gamma) \subseteq \IC \backslash[/mm]
> {0}. Dann gilt [mm]\integral_{\gamma} f(z) dz[/mm]
Ja was soll gelten ???
Ich nehme an: [mm]\integral_{\gamma} f(z) dz =0[/mm]
> Ich habe diese
> Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Ich denke, dass diese Aussage falsch ist.
> Angenommen, ich nehme eine konstante Funktion [mm]f(z):= c, c = const.[/mm]
>
> Und die Parametrisierung des Wegs [mm]\gamma:[/mm] [mm]z(t):[0,1] \to \IC, t \mapsto e^{2\pi i t}[/mm]
>
> Dann kriege ich als Wegintegral:
> [mm][/mm] [mm]\integral_{0}^{1}[/mm] c* [mm]2\pi[/mm] i [mm]e^{2\pi i t} dt\\[/mm]
> [mm]\Rightarrow \integral_{\gamma}[/mm]
> f(z) dz = [mm]c*(e^2\pi[/mm] i - 1) [mm]\not=[/mm] 0[mm][/mm]
.... wohl eher [mm] e^{2\pi i} [/mm]
>
> Stimmt das?
Nein. Es gilt: [mm] e^{2\pi i} [/mm] =1
Nimm als Gegenbeispiel f(z)=1/z und [mm] \gamma [/mm] wie oben
FRED
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