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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:51 Di 17.05.2005 | | Autor: | wee |
Hallo,
kann mir bitte jemand bei folgender Aufgabe helfen:
a) Sei X lokal wegzusammenhängend und x [mm] \in [/mm] X . Zeigen Sie, dass die Maenge W(x):= {y [mm] \in [/mm] X | es gibt einen stetigen Weg von x nach y} offen und abgeschlossen.
b) Zeigen Sie: Ist X zusammenhängend und lokal wegzusammenhängend, so ist X offen und abgeschlossen
X heißt lokal zusammenhängend, falls [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X jede Umgebung U(x) eine wegzusammenhängende Umgebung V(x) [mm] \subset [/mm] U(x) enthält.
Meine Ideen: zu a) Wenn die Menge offen und abgeschlossen ist, muss sie die leere oder die ganze Menge sein. Ich tippe auf die ganze Menge, denn in der leeren Menge gibt es nun mal keine zwei Punkte zwischen denen man ein Weg finden könnte. Eine bessere Idee habe ich noch nicht.
zu b): Da man in a) gezeigt hat, dass die lokalzusammenhängende Menge schon die ganze Menge ist. Nichts andere sagt die Eigenschaft Zusammenhängend aus. Wenn jetzt also zu jeden Punkt in X eine wegzusammenhängende Umgebung ex. kann man doch einfach beliebig viele solcher Umgebungen vereinigen um beliebige Punkte mit einen Weg zu verbinden.
Jetzt bitte ich, ob nicht jemand mal meine Ideen Komentieren kann, bzw. bessere Lösungwege aufzeigen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Mi 18.05.2005 | | Autor: | SEcki |
> a) Sei X lokal wegzusammenhängend und x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
X . Zeigen Sie,
> dass die Maenge W(x):= {y [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
X | es gibt einen stetigen
> Weg von x nach y} offen und abgeschlossen.
Die untenangegeben "V" sind ja Umgebungen - also offen. Jetzt musst du erstmal zeigen, daß jedes mit x wegverbindbare y in so einer liegt (Das soltle aber gehen.). abgeschlossen: zeige das das Komplement offen ist - dazu: es gibt um jeden Punkt eine Umgebung, deren Schnitt mit obiger Vereinigung leer ist (warum?)
> b) Zeigen Sie: Ist X zusammenhängend und lokal
> wegzusammenhängend, so ist X offen und abgeschlossen
Das ist doch ... X als topologischer Raum ist nach Definition offen und abgeschlossen. Falls das nicht gemient ist, sondern zB als Teilmenge von [mm]\IR^n[/mm], ist das imo einfach falsch: einfach einen offenen Ball nehmen - der ist wegzush. und sicher durch kleiner Bälle lokalwegzush., selbst zush. - aber nicht abgeschlossen.
> Meine Ideen: zu a) Wenn die Menge offen und abgeschlossen
> ist, muss sie die leere oder die ganze Menge sein.
Nein, nur wenn X zusammenhängend ist.
SEcki
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