Weibull-Verteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Weibull-Verteilung ist gegeben durch
F(t) = 1 - [mm] e^{-(\bruch{t}{T})^b}
[/mm]
Zeigen Sie: Ist X Weibull-verteilt, so gilt
[mm] E(X^n) [/mm] = [mm] T^n \Gamma(1 [/mm] + [mm] \bruch{n}{n}).
[/mm]
Tipp: Substitution s = [mm] (\bruch{t}{T})^b [/mm] und Vergleich mit der Definition der Gammafunktion [mm] \Gamma(x). [/mm] |
Hallo,
mit dem Tipp zur Substitution kann ich noch nichts anfangen. Ich muss doch im ersten Schritt die Dichtefunktion f(t) aus der Verteilungsfunktion ableiten. Hier komme ich auf:
f(t) = [mm] \bruch{bt^{b - 1}}{T^b} e^{-(\bruch{t}{T})^b}
[/mm]
Dann ist gesucht:
[mm] E(X^n) [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x^n \bruch{bx^{b - 1}}{T^b} e^{-(\bruch{x}{T})^b} dx}
[/mm]
Jetzt lässt sich das Integral
[mm] \integral{\bruch{bx^{b - 1}}{T^b} e^{-(\bruch{x}{T})^b} dx} [/mm] = [mm] -\integral{(-\bruch{bx^{b - 1}}{T^b}) e^{-(\bruch{x}{T})^b} dx}
[/mm]
ja gut durch Substitution finden
= [mm] e^{-(\bruch{x}{T})^b}.
[/mm]
Aber wenn ich ich nun partiell integriere:
[mm] \integral{x^n \bruch{bx^{b - 1}}{T^b} e^{-(\bruch{x}{T})^b} dx} [/mm] = [mm] x^n e^{-(\bruch{x}{T})^b} [/mm] - [mm] \integral{n x^{n - 1} e^{-(\bruch{x}{T})^b} dx}
[/mm]
... wie soll ich denn
[mm] \integral{n x^{n - 1} e^{-(\bruch{x}{T})^b} dx}
[/mm]
ermitteln? Hat das überhaupt eine Stammfunktion oder bin ich in einer Sackgasse?
Danke & Gruß,
Martin
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Hiho,
>Zeigen Sie: Ist X Weibull-verteilt, so gilt
> $ [mm] E(X^n) [/mm] = [mm] T^n \Gamma(1 [/mm] $ + $ [mm] \bruch{n}{n}). [/mm] $
es soll wohl eher heißen:
[mm] $E(X^n) [/mm] = [mm] T^n \Gamma(1 [/mm] + [mm] \bruch{n}{b})$
[/mm]
> mit dem Tipp zur Substitution kann ich noch nichts anfangen.
Wenn du ihn auch konsequent ignorierst…
> Dann ist gesucht:
>
> [mm]E(X^n) = \integral_{-\infty}^{\infty}{x^n \bruch{bx^{b - 1}}{T^b} e^{-(\bruch{x}{T})^b} dx}[/mm]
Fast…
Die Weibull-Verteilung nimmt nur nichtnegative-Werte an.
Die Integralgrenzen sind dementsprechend falsch.
>
> Jetzt lässt sich das Integral
>
> [mm]\integral{\bruch{bx^{b - 1}}{T^b} e^{-(\bruch{x}{T})^b} dx}[/mm]
> = [mm]-\integral{(-\bruch{bx^{b - 1}}{T^b}) e^{-(\bruch{x}{T})^b} dx}[/mm]
>
> ja gut durch Substitution finden
>
> = [mm]e^{-(\bruch{x}{T})^b}.[/mm]
Das ist ohne Grenzen etc natürlich schmu…
wieso versuchst du es mit partieller Integration und nicht, wie angegeben mit Substitution?
Du hast:
[mm]E(X^n) = \integral_{0}^{\infty}{x^n \bruch{bx^{b - 1}}{T^b} e^{-(\bruch{x}{T})^b} dx}[/mm]
Jetzt substituiere wie angegeben: $s = [mm] (\bruch{x}{T})^b [/mm] $ und vergleiche mit der Definition der [mm] $\Gamma$-Funktion [/mm] (die man wohl mal hinschreiben müsste…)
Gruß,
Gono
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Hallo,
> > mit dem Tipp zur Substitution kann ich noch nichts
> anfangen.
> Wenn du ihn auch konsequent ignorierst…
Ich hab ihn nicht ignoriert, sondern konnte mir erstmal keinen Reim drauf machen und dachte, dass der erst in einem späteren Schritt relevant wird ...
> Du hast:
> [mm]E(X^n) = \integral_{0}^{\infty}{x^n \bruch{bx^{b - 1}}{T^b} e^{-(\bruch{x}{T})^b} dx}[/mm]
>
> Jetzt substituiere wie angegeben: [mm]s = (\bruch{x}{T})^b[/mm] und
> vergleiche mit der Definition der [mm]\Gamma[/mm]-Funktion (die man
> wohl mal hinschreiben müsste…)
Aber durch diese Substitution komme ich doch nur an
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{bx^{b - 1}}{T^b} e^{-(\bruch{x}{T})^b} dx} [/mm] = [mm] -e^{-\bruch{x}{T}^b} \mathop{\big|}\limits_0^\infty
[/mm]
Um nun an
[mm] \integral_{0}^{\infty}{x^n \bruch{bx^{b - 1}}{T^b} e^{-(\bruch{x}{T})^b} dx}
[/mm]
zu kommen muss ich doch immer noch partiell integrieren:
[mm] E(X^n) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{x^n \bruch{bx^{b - 1}}{T^b} e^{-(\bruch{x}{T})^b} dx} [/mm] = [mm] -e^{-\bruch{x}{T}^b} x^n \mathop{\big|}\limits_0^\infty [/mm] + [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-\bruch{x}{T}^b} n x^{n - 1} dx} [/mm] (1)
Klar kann ich die Gammafunktion hinschreiben:
[mm] \Gamma(x) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{t^{x - 1} e^{-t} dx}
[/mm]
Somit ist doch zu zeigen:
[mm] E(X^n) [/mm] = [mm] T^n \integral_{0}^{\infty}{t^{\bruch{n}{b}} e^{-t} dx} [/mm] (2)
Ich blicke leider trotzdem nicht, wie ich jetzt von (1) auf (2) komme ....
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Hiho,
> Ich hab ihn nicht ignoriert, sondern konnte mir erstmal
> keinen Reim drauf machen und dachte, dass der erst in einem späteren Schritt relevant wird ...
Es gibt keinen späteren Schritt.
Du benötigst hier 1x Substitution, sonst nix, also lass deine Versuche sein etwas mit partieller Integration zu erreichen…
> > Jetzt substituiere wie angegeben: [mm]s = (\bruch{x}{T})^b[/mm] und
> > vergleiche mit der Definition der [mm]\Gamma[/mm]-Funktion (die man
> > wohl mal hinschreiben müsste…)
>
> Aber durch diese Substitution komme ich doch nur an
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{bx^{b - 1}}{T^b} e^{-(\bruch{x}{T})^b} dx}[/mm]
> = [mm]-e^{-\bruch{x}{T}^b} \mathop{\big|}\limits_0^\infty[/mm]
Was auch immer du mit "komme ich an" meinst…
Offensichtlich gilt [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{bx^{b - 1}}{T^b} e^{-(\bruch{x}{T})^b} dx} = 1[/mm], da du ja selbst schon festgestellt hast, dass [mm] $\bruch{bx^{b - 1}}{T^b} e^{-(\bruch{x}{T})^b} [/mm] $ eine Dichte ist.... und daher aufintegriert 1 ergeben muss. Ganz ohne Substitution.
> Um nun an
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{x^n \bruch{bx^{b - 1}}{T^b} e^{-(\bruch{x}{T})^b} dx}[/mm]
>
> zu kommen muss ich doch immer noch partiell integrieren:
Nein, du musst gar nichts.
Ich wiederhole mich: Du hast [mm]\integral_{0}^{\infty}{x^n \bruch{bx^{b - 1}}{T^b} e^{-(\bruch{x}{T})^b} dx}[/mm] und sollst nun $ s = [mm] (\bruch{x}{T})^b [/mm] $ substituieren.
Du erhältst dann also ein Integral, welches als Integranden $s$ verwendest.
Fang doch damit mal an!! Du weigerst dich ja beharrlich, das mal anzugehen… dann kann man dir auch nicht helfen.
Wo ist jetzt dein Problem mit obiger Substitution?
1.) Setze: $ s = [mm] (\bruch{x}{T})^b [/mm] $
2.) Dann ist $dx = [mm] \ldots [/mm] ds$
3.) Obergrenze und Untergenze ändern sich zu … ?
4.) Ersetze nun den Integranden durch den substitituierten…
Wo ist das Problem?
Gruß,
Gono
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Hallo,
> Ich wiederhole mich: Du hast [mm]\integral_{0}^{\infty}{x^n \bruch{bx^{b - 1}}{T^b} e^{-(\bruch{x}{T})^b} dx}[/mm]
> und sollst nun [mm]s = (\bruch{x}{T})^b[/mm] substituieren.
> Du erhältst dann also ein Integral, welches als
> Integranden [mm]s[/mm] verwendest.
>
> Fang doch damit mal an!! Du weigerst dich ja beharrlich,
> das mal anzugehen… dann kann man dir auch nicht helfen.
> Wo ist jetzt dein Problem mit obiger Substitution?
Mein Problem besteht darin, dass ich für Integration durch Substitution etwas in der Form von
[mm] \integral{f(g(x))g'(x) dx}
[/mm]
brauche. Das ist bei
[mm] \integral{\bruch{bx^{b - 1}}{T^b} e^{-(\bruch{x}{T})^b} dx} [/mm] = - [mm] \integral{- \bruch{bx^{b - 1}}{T^b} e^{-(\bruch{x}{T})^b} dx}
[/mm]
der Fall mit f(x) = [mm] e^x [/mm] und g(x) = [mm] -(\bruch{x}{T})^b.
[/mm]
Aber
[mm] \integral{x^n \bruch{bx^{b - 1}}{T^b} e^{-(\bruch{x}{T})^b} dx}
[/mm]
ist ja nun in der Form von
[mm] \integral{x^n f(g(x))g'(x) dx}.
[/mm]
Da ist mir unklar, wie ich jetzt von dx nach ds substituieren kann! Deswegen auch das mit der partiellen Integration ...
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Hiho,
> Mein Problem besteht darin, dass ich für Integration durch
> Substitution etwas in der Form von
>
> [mm]\integral{f'(g(x))g'(x) dx}[/mm]
>
> brauche
Aha! Das ist doch mal eine klare Frage, mit der man arbeiten kann.
Vorweg: Du lässt bei den Integralen immer die Grenzen weg, das ist aber falsch.
Wir reden hier von bestimmten Integralen, das ist vom Prinzip her was ganz anderes als Stammfunktionen bestimmen, auch wenn die Methoden sich ähneln.
Daher: Gewöhn dir bitte an Grenzen an die Integrale zu packen.
Dann: Dein Einwand ist erst mal nachvollziehbar, stimmt aber nicht.
Du hast zwar die Form:
$ [mm] \integral_0^\infty {x^n f'(g(x))g'(x) dx} [/mm] $ aber nur, wenn man wie du $f(x) = [mm] e^{-x}, [/mm] g(x) = [mm] \left(\frac{x}{T}\right)^b$ [/mm] wählt.
Spricht halt dafür, dass man für die Substitution die Funktionen falsch gewählt hat.
Setzt du aber $f(x) = [mm] x^\frac{n}{b} e^{-x}$ [/mm] so hat das Integral die von dir benötigte Form
$ [mm] \integral_0^\infty [/mm] {f'(g(x))g'(x) dx} $ (nachrechnen!)
Wenn du damit zum Ziel gekommen bist (und die Aufgabe damit erst mal gelöst wurde), erkläre ich dir, wie man auf obige Funktion kommt und das Ergebnis schneller erhält…
Gruß,
Gono
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Hallo,
> Setzt du aber [mm]f(x) = x^\frac{n}{b} e^{-x}[/mm] so hat das
> Integral die von dir benötigte Form
Da hatte ich echt ein Brett vorm Kopf ...
Habe jetzt mit g(x) := [mm] (\bruch{x}{T})^b [/mm] = [mm] \bruch{x^b}{T^b} [/mm] das stehen:
[mm] E(X^n) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{x^n bx^{b - 1}}{T^b} e^{-(\bruch{x}{T})^b} dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{T^n (\bruch{x^b}{T^b})^\bruch{n}{b} e^{-(\bruch{x}{T})^b} g'(x) dx} [/mm] = [mm] T^n \integral_{0}^{\infty}{g(x)^\bruch{n}{b} e^{-g(x)} g'(x) dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = [mm] x^\frac{n}{b} e^{-x}
[/mm]
Dann mit s := g(x):
[mm] E(X^n) [/mm] = [mm] T^n \integral_{0}^{\infty}{f(g(x)) g'(x) dx} [/mm] = [mm] T^n \integral_{g(0)}^{\limes_{i\rightarrow\infty} g(i)}{f(s) ds} [/mm] = [mm] T^n \integral_{0}^{\infty}{s^{\bruch{n}{b}} e^{-s} dx}
[/mm]
Danke nochmal!
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Hiho,
deine Schritte passen soweit. Wie du festgestellt hast, ist das finden einer solchen Funktion $f$ nicht immer so leicht möglich.
Was daher meistens schneller geht ist folgender weg:
1.) Wähle das, was du substituieren willst, hier $s = [mm] \frac{x^b}{T^b}$
[/mm]
2.) Dann ist: [mm] $\frac{ds}{dx} [/mm] = [mm] b\frac{x^{b-1}}{T^b} \; \Rightarrow \M [/mm] ds = [mm] b\frac{x^{b-1}}{T^b} [/mm] dx$
3.) Und für die Grenzen gilt: $s(0) = [mm] \frac{0^b}{T^b} [/mm] = [mm] 0,\quad s(\infty) [/mm] = [mm] \frac{\infty^b}{T^b} [/mm] = [mm] \infty$
[/mm]
Und wir hätten schon mal fast alles verwurstet:
[mm] $\integral_{0}^{\infty}{x^n \bruch{bx^{b - 1}}{T^b} e^{-(\bruch{x}{T})^b} dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{\underbrace{x^n}_{\text{Problem?}} \underbrace{e^{-(\bruch{x}{T})^b}}_{=\exp(-s)} \underbrace{\bruch{bx^{b - 1}}{T^b} dx}_{=ds}} [/mm] $
Aber [mm] x^n [/mm] ist nicht wirklich ein Problem, denn wir können unsere Definition von $s$ ja einfach umformen, es gilt offensichtlich:
$s = [mm] \frac{x^b}{T^b}\; \gdw \; T^ns^\frac{n}{b} [/mm] = [mm] x^n$
[/mm]
und schon können wir auch das letzte Element unseres Integranden ersetzen und bekommen:
[mm] $\integral_{0}^{\infty}{x^n \bruch{bx^{b - 1}}{T^b} e^{-(\bruch{x}{T})^b} dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{T^ns^\frac{n}{b} e^{-s} ds}$
[/mm]
Diese Art der Substitution solltest du dir wirklich aneignen, da sie schneller ist und man im Nachhinein nur noch prüfen muss, ob das Ergebnis auch passt…
Gruß,
Gono
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