Weierstraß-Test < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Tobus |
| Aufgabe | Zeigen sie mit Hilfe des Weierstraß-Test, dass die Reihen
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (sin [mm] nx)/(n^2)
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n} 1/(2^n+|x|)
[/mm]
gleichmäßig vonvergent auf R sind |
Hallo,
leider haben wir im Skript nur ein Satz zum Weierstraß-Test, und zwar wenn eine $ [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] $ < $ [mm] \infty [/mm] $ und es existiert ||fn(x)|| < Folgenglieder, dann konvergiert die Summe von fn gleichmäßig.
Leider hilft mir dieser eine Satz überhaupt nicht beim Lösen der Aufgabe.
Könnte mir da jemand bitte helfen ?
DANKE
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# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 Mi 14.05.2008 | | Autor: | abakus |
> Zeigen sie mit Hilfe des Weierstraß-Test, dass die Reihen
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] (sin [mm]nx)/(n^2)[/mm]
> [mm]\summe_{i=1}^{n} 1/(2^n+|x|)[/mm]
>
> gleichmäßig vonvergent auf R sind
> Hallo,
> leider haben wir im Skript nur ein Satz zum
> Weierstraß-Test, und zwar wenn eine [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] <
> [mm]\infty[/mm] und es existiert ||fn(x)|| < Folgenglieder, dann
> konvergiert die Summe von fn gleichmäßig.
>
> Leider hilft mir dieser eine Satz überhaupt nicht beim
> Lösen der Aufgabe.
> Könnte mir da jemand bitte helfen ?
>
> DANKE
>
> #
> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo, mal so ganz allgemein: die Summe [mm]\summe_{i=1}^{n} 1/(n^2)[/mm] konvergiert, dann tut es [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] (sin [mm]nx)/(n^2)[/mm] erst recht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Tobus |
klar, aber das reicht als beweis leider nicht, denn ich muss den weierstraß-test nehmen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Mi 14.05.2008 | | Autor: | abakus |
> klar, aber das reicht als beweis leider nicht, denn ich
> muss den weierstraß-test nehmen
Kannst du den nicht auf das Beispiel anwenden?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Tobus |
nein, leider nicht. ich hab noch nie ein beispiel von weierstraß-test gesehen, in der vorlesung wurde der auch kaum behandelt.
[mm] \summe_{i=1}^{n} 1/(2^n+|x|)
[/mm]
ich brauche also eine funktion, die konvergent ist, sowie immer kleiner als mein [mm] 1/(2^n+|x|).
[/mm]
also habe ich: 0<q<0,5, wobei q fest ist. muss ich jetzt nur noch eine funktion in abhängigkeit von x finden ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> nein, leider nicht. ich hab noch nie ein beispiel von
> weierstraß-test gesehen, in der vorlesung wurde der auch
> kaum behandelt.
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} 1/(2^n+|x|)[/mm]
> ich brauche also eine
> funktion, die konvergent ist, sowie immer kleiner als mein
> [mm]1/(2^n+|x|).[/mm]
> also habe ich: 0<q<0,5, wobei q fest ist. muss ich jetzt
> nur noch eine funktion in abhängigkeit von x finden ?
nein, die "Majorante" darf eben nicht abhängig von $x$ sein. Deine Reihe oben ist
[mm] $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ [/mm] mit [mm] $f_n(x)=\frac{1}{2^n+|x|}$
[/mm]
Offensichtlich gilt für jedes $x [mm] \in \IR$ [/mm] und $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
[mm] $|f_n(x)| \le M_n:=\frac{1}{2^n}=\left(\frac{1}{2}\right)^n$
[/mm]
Im Prinzip bist Du dann schon fertig (Stichwort: Geometrische Reihe).
Und bei
[mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n*x)}{n^2}$
[/mm]
geht es analog:
Hier ist [mm] $f_n(x)=\frac{\sin(n*x)}{n^2}$ [/mm] und damit gilt hier für jedes $x [mm] \in \IR$ [/mm] und $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
[mm] $|f_n(x)| \le \frac{1}{n^2}=:M_n$
[/mm]
Ist Dir die Aussage des M-Test's bekannt? Sonst ![[]](/images/popup.gif) hier anklicken.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Tobus |
ah ok, ich glaube ich habe es kapiert. vielen dank !!
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