Weihnachtsaufgabe < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:44 Di 29.12.2009 | | Autor: | Juliia |
Hallo,
habe eine Aufgabe, wo ich dringend Hilfe brauche!
Würde mich freuen, wenn jemand mir helfen kann!!! :)
Aufgabe:
Vor Weihnachten kauft sich jede Familie in Engelsheim einen Weihnachtsbaum. Es werden Tannen, Fichten und Kiefern angeboten.
Es ist bekannt, dass von allen Familien, die in einem Jahr eine Tanne gekauft haben, 10% im folgenden Jahr eine Fichte und 10 % eine Kiefer kaufen. Von den Fichtenkäufern steigen 40% auf Tannen und 10% auf Kiefern um. Von den Kiefernkäufern wiederum kaufen sich im folgenden Jahr 20% eine Fichte und 20% eine Tanne.
Wie viel Prozent aller Familien müssen Tannenkäufer, Fichtenkäufer und Kieferkäufer sein, damit sich die Verteilung von einem Jahr zum nächsten nicht ändert?
hoffe, dass jemand mir helfen kann! :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Di 29.12.2009 | | Autor: | Krone |
Hi,
also zunächst musst du eine Übergangsmatrix aufstellen:
[mm] \pmat{ 0,8 & 0,4 & 0,2 \\ 0,1 & 0,5 & 0,2 \\ 0,1 & 0,1 & 0,6 }
[/mm]
Die stabile Verteilung erhältst du, wenn diese Matrix multipliziert mit einem Vektor [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4}
[/mm]
wieder den Vektor ergibt.
Also der Ansatz:
[mm] \pmat{ 0,8 & 0,4 & 0,2 \\ 0,1 & 0,5 & 0,2 \\ 0,1 & 0,1 & 0,6 } [/mm] * [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4} [/mm] = [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4}
[/mm]
Ich hoffe, ich konnte dir helfen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Di 29.12.2009 | | Autor: | Juliia |
Hi Krone,
kannn ich diesen Vektor selber aussuchen? Oder mit welchem Vektor soll ich die Matrix multiplizieren?
Gruß Julia
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Di 29.12.2009 | | Autor: | Krone |
Der Term, den ich dir eben gesagt habe, musst du genauso ausrechnen.
Also der Vektor wird allgemein ausgedrückt.
Ich muss mich übrigens korrigieren. Der Vektor hat natürlich nur 3 und nicht 4 Zahlen.
Also nochmal:
[mm] \pmat{ 0,8 & 0,4 & 0,2 \\ 0,1 & 0,5 & 0,2 \\ 0,1 & 0,1 & 0,6 } [/mm] * [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3 } [/mm] = [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3 }
[/mm]
Wenn du das so ausrechnest, bekommst du nachher für x1, x2 und x3 Ergebnisse.
Und dieser Vektor, der dann rauskommt, gibt dir die stabile Verteilung an.
Also ausmultipliziert ergibt das:
0,8x1 + 0,4x2 + 0,2x3 = x1
0,1x1 + 0,5x2 + 0,2x3 = x2
0,1x1 + 0,1x2 + 0,6x3 = x3
per Gauss-Verfahren (ich schreibs jetzt nicht als Matrix) kannst du das lösen:
0,8x1 + 0,4x2 + 0,2x3 = x1
3,6x2 + 1,4x3 = 8x2 - x1
0,4x2 + 4,6x3 = 8x3 - x1
=
0,8x1 + 0,4x2 + 0,2x3 = x1
3,6x2 + 1,4x3 = 8x2 - x1
40x3 = 72x3 - 8x2 - 8x1
Die letzte Zeile aufgelöst ergibt:
32x3 = 8x2 + 8x1
x3 = 0,25x2 + 0,25x1
Dann kannst du das natürlich immer weiter auflösen.
Am Ende ergibt sich:
x1 = 3x2
x2 = x2
x3 = x2
Den Vektor der stabilen Verteilung kannst du also so darstellen:
r* [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Da du es jetzt in Prozent ausdrücken möchtest, setzt du für r einfach 20 ein.
Dann ergibt sich für den Vektor:
20* [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{60 \\ 20 \\ 20} [/mm]
Also Ergebnis:
60% Tanne, 20% Fichte, 20% Kiefer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 Di 29.12.2009 | | Autor: | Juliia |
Danke, danke, danke!!!
Du bist echt geil!:)
|
|
|
|
