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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 Fr 21.04.2006 | | Autor: | DeusRa |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Integrale:
(a) [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{arcsin(x)}{ \wurzel{1-x²}} dx}. [/mm]
Hinweis: uneigentliches Integral.
(b) [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x*(x²-1)} dx} [/mm]
Hinweis: Partialbruchzerlegung. |
Zu (a).
Wissen: [mm] arcsin(x)'=\bruch{1}{ \wurzel{1-x²}}, [/mm] also:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{arcsin(x)}{ \wurzel{1-x²}} dx}, [/mm] ist undefiniert bei x=1 (und x=-1) also
[mm] \limes_{a \rightarrow 1} \integral_{0}^{a}{\bruch{arcsin(x)}{ \wurzel{1-x²}} dx}, [/mm] nach [mm] \integral_{a}^{b}{f'(x)*f(x) dx}=$ [\bruch{1}{2}\cdot{}f²(x)]^{b}_a [/mm] $ folgt:
[mm] \limes_{a \rightarrow 1} \integral_{0}^{a}{arcsin(x)*\bruch{1}{ \wurzel{1-x²}} dx} [/mm] = [mm] \limes_{a \rightarrow 1}$[\bruch{1}{2}*arcsin²(x)]^{a}_0$ [/mm] = [mm] \limes_{a \rightarrow 1}\bruch{1}{2}*arcsin²(a)-\bruch{1}{2}*arcsin²(0)=\bruch{1}{2}*arcsin²(1)-\bruch{1}{2}*arcsin²(0).
[/mm]
So das wäre es, ich weiss jetzt nicht genau was für ein Wert für arcsin²(1) und arcsin²(0) rauskommt.
Zu (b):
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x*(x²-1)} dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^{3}-x} dx}
[/mm]
Jetzt habe ich Probleme bei der Bestimmung der Partialbruchzerlegung:
Erste Zerlegungsmöglichkeit:
[mm] $x^{3}$ [/mm] $-x = (x²+x)*(x-1)$ [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \bruch{1}{x^{3}-x}= \bruch{\alpha}{x²+x}+\bruch{\beta}{(x-1)} [/mm] = [mm] \bruch{\alpha*(x-1)}{x^{3}-x}+\bruch{\beta*(x²+x)}{x^{3}-x}
[/mm]
, aber hier weiß ich nicht wie man [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] bestimmen soll.
Es muss ja folgendes gelten: [mm] \alpha*(x-1)+\beta*(x²+x)=1
[/mm]
Zweite Zerlegungsmöglichkeit:
[mm] x^{3}-x=x*(x²-1) \Rightarrow
[/mm]
[mm] \bruch{1}{x^{3}-x}=\bruch{\alpha}{x}+\bruch{\beta}{(x²-1)}
[/mm]
Hier weiß ich auch wieder nicht weiter:
Hier muss ja gelten= [mm] \alpha*(x²-1)+\beta*x [/mm] = 1.
Danke schon mal im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:33 Fr 21.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rados!
Es gilt: [mm] $\arcsin(0) [/mm] \ = \ 0$ sowie [mm] $\arcsin(1) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{2}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Fr 21.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hello again ...
> Zu (b):
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x*(x²-1)} dx}[/mm] = [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^{3}-x} dx}[/mm]
Warum multiplizierst Du die Klammer hier aus? Für die Partialbruchzerlegung musst Du doch wieder faktorisieren ...
[mm] $\bruch{1}{x*\left(x^2-1\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x*(x+1)*(x-1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{x}+\bruch{B}{x+1}+\bruch{C}{x-1} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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