Welche Verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Fr 08.06.2012 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | 20 Stimmen werden zufällig auf 3 Kandidaten verteilt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Kandidat A 10 Stimmen und die Kandidaten B und C je 5 Stimmen erhalten? |
Hi Leute!
Welche Verteilung passt hier? Ich hab mir gedacht, dass evtl. die hypergeometrische Verteilung passen könnte, aber was mich stutzig werden lässt ist die Tatsache, dass es ja drei Kandidaten gibt...
Auch sonst passt das Ganze nicht so wirklich auf diese Verteilung.
Ich hab mir auch noch überlegt, das mit der Binomialverteilung zu lösen, aber da fehlt mir dann eine Prozentangabe...
Könnt ihr mir weiterhelfen?
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> 20 Stimmen werden zufällig auf 3 Kandidaten verteilt.
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Kandidat A
> 10 Stimmen und die Kandidaten B und C je 5 Stimmen
> erhalten?
> Hi Leute!
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> Welche Verteilung passt hier? Ich hab mir gedacht, dass
> evtl. die hypergeometrische Verteilung passen könnte, aber
> was mich stutzig werden lässt ist die Tatsache, dass es ja
> drei Kandidaten gibt...
>
> Auch sonst passt das Ganze nicht so wirklich auf diese
> Verteilung.
>
> Ich hab mir auch noch überlegt, das mit der
> Binomialverteilung zu lösen, aber da fehlt mir dann eine
> Prozentangabe...
>
> Könnt ihr mir weiterhelfen?
Hallo bandchef,
da würde ich keine Wahrscheinlichkeitsverteilung bemühen,
sondern einen kombinatorischen Ansatz wählen.
Man kann die möglichen Stimmverteilungen als die
menge aller "Variationen mit Wiederholungen" mit den
Parametern n=3 und k=20 auffassen.
Die "günstigen" Stimmverteilungen entsprechen dann
den "Wörtern" der Länge 20, welche man aus genau 10 "A",
5 "B" und 5 "C" bilden kann.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Fr 08.06.2012 | | Autor: | bandchef |
"Alle Variationen mit Wiederholungen" Ist doch dann denke ich mal der Binomialkoeffizient, oder?
[mm] $\Rightarrow \binom{20}{3} [/mm] = 1140$
Edit: Es ist natürlich nit der Binom.-Koeff. sondern das hier: $V(n,k) = [mm] n^k \Leftrightarrow [/mm] V(3,20) = [mm] 3^{20} [/mm] = 3486784401$
Zitat: "Die "günstigen" Stimmverteilungen entsprechen dann
den "Wörtern" der Länge 20, welche man aus genau 10 "A",
5 "B" und 5 "C" bilden kann."
Das habe ich allerdings nicht so ganz verstanden. Das "Wort" soll also aus genau 10 "A", 5 "B" und 5 "C" bestehen. Ist dann hier die Reihenfolge, in welcher die Buchstaben im Wort angeordnet sind, egal? Ich denke mal dass, die Reihenfolge egal ist, da du ja von "allen Wörtern" sprichst.
Deswegen wird es wahrscheinlich die "Kombination ohne Wiederholung" sein, oder? Allerdings verstehe ich nocht so ganz welche Variable welche Zahl bekommt:
[mm] $C(n,k)_A [/mm] = [mm] \binom{n}{k} \Leftrightarrow C(20,10)_A [/mm] = [mm] \binom{20}{10} [/mm] = 184756$
[mm] $C(n,k)_B [/mm] = [mm] \binom{n}{k} \Leftrightarrow C(20,5)_B [/mm] = [mm] \binom{20}{5} [/mm] = 15504$
[mm] $C(n,k)_C [/mm] = [mm] \binom{n}{k} \Leftrightarrow C(20,5)_C [/mm] = [mm] \binom{20}{5} [/mm] = 15504$
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Die Reihenfolge ist nicht egal:
CABACAABACBAABCAAABC
CACBAAACBABACAABAACB
Das sind zwei Beispiele,
beim ersten stimmt Wähler 1 für C, Wähler 2 für A, Wähler 3 für B usw.,
beim zweiten stimmt Wähler 1 für C, Wähler 2 für A, Wähler 3 für C usw.
Die Anzahl der auf diese Weise möglichen Wörter ist zu bestimmen. Das ist aber ein bekanntes Problem der Kombinatorik. Es ist sozusagen die Fortsetzung der "Bi"nomialkoeffizienten auf höhere Dimensionen, kurzum: es geht um ![[]](/images/popup.gif) "Multi"nomialkoeffizienten (lat. bis ~ zweifach, lat. multi ~ viele)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Fr 08.06.2012 | | Autor: | bandchef |
Danke für den Hinweis. Das wusste ich bisher nicht! Was es nicht alles gibt!
Danke!
Wenn ich nun diesen Multinomialkoeffizienten berechne, dann komm ich auf dieses Ergebnis:
[mm] $\binom{20}{10,5,5} [/mm] = [mm] \frac{20!}{10!5!5!} [/mm] = 46558512$
Das ist also nun die Anzahl der Möglickeiten. Ich möchte aber die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen
Muss ich also jetzt noch die die Anzahl pro Wort berechnen und diese dann durch die gesamte Anzahl teilen, damit ich auf die Wahrscheinlichkeit komme?
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> Danke für den Hinweis. Das wusste ich bisher nicht! Was es
> nicht alles gibt!
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> Danke!
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> Wenn ich nun diesen Multinomialkoeffizienten berechne, dann
> komm ich auf dieses Ergebnis:
>
> [mm]\binom{20}{10,5,5} = \frac{20!}{10!5!5!} = 46558512[/mm]
>
> Das ist also nun die Anzahl der Möglickeiten. Ich möchte
> aber die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen
>
> Muss ich also jetzt noch die die Anzahl pro Wort berechnen
> und diese dann durch die gesamte Anzahl teilen, damit ich
> auf die Wahrscheinlichkeit komme?
Du musst nur noch den Quotienten der bereits berechneten
Werte berechnen:
[mm] p=\frac{Anzahl\ der\ g\ddot{u}nstigen\ M\ddot{o}glichkeiten}{Anzahl\ aller\ M\ddot{o}glichkeiten}
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Fr 08.06.2012 | | Autor: | bandchef |
Die Anzahl aller Möglichkeiten sollte wohl das Ergebnis des Multinomialkoeffizienten sein.
Aber wie berechnet sich nun die Anzahl der günstigsten Möglichkeiten?
Ist das dann der Binomialkoeffizient?
[mm] $\binom{20}{10} [/mm] = 184756$
[mm] $\binom{20}{5} [/mm] = 15504$
[mm] $\binom{20}{5} [/mm] = 15504$
Muss ich nun diese drei Ergebnisse aufaddieren?
Das sieht dann so aus: [mm] $\frac{184756+15504+15504}{3486784401} \approx [/mm] 0,000062$
Ist aber für eine Wahrscheinlichkeit recht wenig, oder? Wenn die Gegenwahrscheinlichkeit gefragt wäre, ist es etwas viel 
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Hallo,
Du hattest die erforderlichen Werte doch schon:
$\ m\ =\ [mm] \overline{V}_{3,20}\ [/mm] =\ [mm] 3^{20}\ [/mm] =\ 3486784401$
$\ g\ =\ [mm] \overline{P}_{(20=10+5+5)}\ [/mm] =\ [mm] \frac{20!}{10!*5!*5!}\ [/mm] =\ 46558512$
Also kommen wir auf
$\ p\ =\ [mm] \frac{46558512}{3486784401}\ \approx\ [/mm] 0.0134\ [mm] \approx\ \frac{1}{75}$
[/mm]
LG Al
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