Wellenfunktion < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:32 So 03.05.2009 | | Autor: | Adri_an |
| Aufgabe | Gegeben sei das eindimensionale Gaußsche-Wellenpaket
[mm]\Psi(x,t)=N\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\exp(\diplaystyle\frac{-(k-k_0)^2}{a^2})\exp(i(kx-\omega(k)t))\ dk[/mm] mit [mm]\omega(k)=\displaystyle\frac{\hbar k^2}{2m}[/mm].
Berechnen Sie die Wellenfunktion [mm]\Psi(x,t)[/mm] und die Normierungskonstante N. |
Mein Ansatz:
[mm]\displaystyle\frac{1}{N}\Psi(x,t)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\exp(\displaystyle\frac{-(k-k_0)^2}{a^2})\exp(i(kx-\red{\omega(k)}t))\ dk[/mm]
[mm]=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\exp(\displaystyle\frac{-(k-k_0)^2}{a^2}+i(kx-\frac{\red{\hbar k^2}t}{\red{2m}}))\ dk[/mm]
[mm]=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\exp((\displaystyle-\frac{i\hbar t}{2m}-\diplaystyle\frac{1}{a^2})k^2+(\displaystyle\frac{2k_0}{a^2}+ix)k+\displaystyle(\frac{-k_0^2}{a^2}))\ dk[/mm]
Nun habe ich folgendes gesetzt:
[mm]A:=\displaystyle(-\frac{i\hbar t}{2m}-\displaystyle\frac{1}{a^2})[/mm]
[mm]B:=\displaystyle(\frac{2k_0}{a^2}+ix)[/mm]
[mm]C:=\displaystyle(\frac{-k_0^2}{a^2})[/mm].
Nach quadratischer Ergänzung des Exponenten, bin ich auf folgenden Ausdruck gekommen:
[mm]=\exp(\displaystyle\frac{4AC-B^2}{4A})\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\exp(A(k+\displaystyle\frac{B}{2A})^2)\ dk[/mm].
Hier komme ich nicht mehr weiter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:21 Mo 04.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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