Wellengleichung, Energie < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Mo 02.03.2015 | | Autor: | Mastery |
| Aufgabe | Für eine Lösung [mm] $u:\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] von:
[mm] \begin{equation}
\begin{cases}
\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^2}-\frac{\partial ^{2} u}{\partial t^2}=0\\
u(x,0)=f(x), \frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=g(x)
\end{cases}
\end{equation}
[/mm]
mit [mm] $f,g\in C^{\infty}_{c}(\mathbb{R})$ [/mm] definieren wir die kinetische und potentielle Energie:
[mm] $k(t)=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)^2 [/mm] dx$
[mm] $p(t)=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial u}{\partial x}(x,t)^2 [/mm] dx$
Zeige, dass $k(t)=p(t)$ für t groß genug |
Also in der VL hatten wir bereits die Darstellung der Lsg:
[mm] $u(x,t)=\frac{1}{2}(f(x+t)-f(x-t))+\frac{1}{2}\int_{x-t}^{x+t}g(z)dz$
[/mm]
Ich habe dann einfach in die Definition von k(t) und p(t) eingesetzt und folgendes erhalten:
[mm] $p(t)-k(t)=\int_{-\infty}^{\infty}(f'(x+t)+g(x+t))(f'(x-t)+g(x-t))dx$
[/mm]
Jetzt müsste man noch zeigen, dass das im Limes 0 wird...
Bei anderen Teilaufgaben konnte man wunderbar partiell integrieren, da der Träger kompakt ist und man von [mm] $-\infty$ [/mm] bis [mm] $\infty$ [/mm] integriert, das hat hier bisher nicht geklappt. Ich habe bereits gezeigt, dass $p(t)+k(t)=const$ ,falls das weiterhilft...
Wäre um einen Hinweis dankbar,
Gruß Mastery
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Mo 02.03.2015 | | Autor: | andyv |
Hallo,
überlege dir Folgendes:
Sind [mm] $\phi,\psi \in C^{\infty}_{c}(\mathbb{R}) [/mm] $, so gibt es ein [mm] $t_0>0$ [/mm] mit [mm] $\int_{-\infty}^{\infty}\phi(x+t)\psi(x-t)dx=0 [/mm] $ für alle [mm] $t>t_0$.
[/mm]
Sind die Träger in $[-M,M]$, $M>0$, enthalten, so kann man [mm] $t_0=M$ [/mm] wählen.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:41 Di 03.03.2015 | | Autor: | Mastery |
Alles klar, vielen Dank :D
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