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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Mo 29.08.2011 | | Autor: | TioZ |
| Aufgabe | | Das Wachstum einer Schimmelpilzkultur wird im Zeitintervall [0; 2,3] beschrieben durch die Funktion [mm] f(x)=9x^3-x^5.Dabei [/mm] bezeichnet x die Zeit nach Beobachtungsbeginn in Tagen und f(x) die von der Kultur bedeckte Fläche in cm². Untersuche, wann die Änderungsrate der bedeckten Fläche maximal ist. |
Hallo zusammen,
muss man bei dieser aufgabe einfach die 2. Ableitung bestimmen und diese nullsetzen?
f(x)= [mm] 9x^3-x^5
[/mm]
f'(x)= [mm] 27x^2-5x^4
[/mm]
[mm] f''(x)=54x-20x^3 [/mm]
[mm] f''(x)=54x-20x^3=0
[/mm]
[mm] -20x^3=-54x
[/mm]
x3=2,7x
[mm] x^2=2,7
[/mm]
Und daraus die Wurzel ergibt ca 1,7. Wenn das richtig ist,heißt das jetzt das nach 1,7 Tagen der Schimmelpilz die Fläche bedeckt hat?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Das Wachstum einer Schimmelpilzkultur wird im Zeitintervall
> [0; 2,3] beschrieben durch die Funktion [mm]f(x)=9x^3-x^5.Dabei[/mm]
> bezeichnet x die Zeit nach Beobachtungsbeginn in Tagen und
> f(x) die von der Kultur bedeckte Fläche in cm².
> Untersuche, wann die Änderungsrate der bedeckten Fläche
> maximal ist.
> Hallo zusammen,
> muss man bei dieser aufgabe einfach die 2. Ableitung
> bestimmen und diese nullsetzen?
Warum? Was heißt Änderungsrate? Also was gibt dir die Änderung einer Funktion an? Und wenn du das weißt, kommt der nächste Schritt: Was heißt maximal? Was gibt Auskunft über Maxima und Minima? Dann wirst du bei der zweiten Ableitung landen, ja.
> f(x)= [mm]9x^3-x^5[/mm]
> f'(x)= [mm]27x^2-5x^4[/mm]
> [mm]f''(x)=54x-20x^3[/mm]
> [mm]f''(x)=54x-20x^3=0[/mm]
> [mm]-20x^3=-54x[/mm]
> x3=2,7x
> [mm]x^2=2,7[/mm]
Warum teilst du hier durch x? Kann x nicht auch null werden?! Lieber x ausklammern:
[mm] $x*(52-20x^2)=0$ [/mm] => man sieht direkt [mm] x_1=0, $x_{2/3}=\pm \wurzel{\bruch{52}{20}}$
[/mm]
> Und daraus die Wurzel ergibt ca 1,7. Wenn das richtig
> ist,heißt das jetzt das nach 1,7 Tagen der Schimmelpilz
> die Fläche bedeckt hat?
Der gesuchte Maximalwert liegt bei x=1,64 korrekt, x=0 ist ein Minimalwert.
Aber wieso soll dann die Fläche bedeckt sein?! Lies bitte nochmal durch, WAS du eigentlich bestimmt hast. Doch wohl eine maximale Änderungsrate. WAS also genau ist nach 1,64 Tagen eingetreten? ;)
EDIT: Zeichne dir unbedingt mal die Funktion/ lass sie dir plotten von einem Programm, auch für größere Intervalle, bzw für [mm] D_f[0,10] [/mm] oder sonstirgendetwas und du wirst sehen, dass die Fläche schonmal in deinem Intervall sozusagen unendlich steigt, denn f(x) ist monoton wachsend in [0;2.3] Du wirst aber auch sehen, dass, wie für viele biologische Systeme, das ganze einen Maximalwert erreicht und danach wieder rückläufig wird. Das heißt nicht, dass hier Fläche verlorengeht, es wird nur WENIGER "neu" bedeckt als zuvor, die Pilze wachsen also wieder langsamer
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Mo 29.08.2011 | | Autor: | TioZ |
Das ist mein Problem, ich weiß nicht genau was gemeint ist mit "wann die änderungsrate des bedeckten Flächeninhalts maximal ist"
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Deshalbe habe ich dir als allererstes diese Fragen gestellt, nicht gelesen? Was ist eine Änderrungsrate? Offenbar irgendeine Größe, die angibt, wie sich etwas verändert in einer bestimmten Zeiteinheit (oder welche Bezugsgröße auch gewählt wurde, hier z.B. Tage als Zeiteinheit). Also ist danach gefragt: Wann herrschte die größte Wachstumsänderung pro Tag/Zeit. Denn was ändert sich denn hier? Die Fläche, denn das gibt ja f(x) an. Also noch korrekter: Wann war die größte Flächenzunahme pro Tag/Zeit oder wie auch immer du dir Rate übersetzen willst, du musst hier nichts divideren deswegen ist pro Tag vielleicht etwas hinderlich. Im Grunde ist nur gefragt, wann die größte Wachstumsphase war und woran erkennt man sowas? Nicht, wann die Fläche insgesamt maximal war, sondern wann die Änderung, also die Steigung maximal war. Denn die Steigung beschreibt immer eine Änderung einer Funktion. Wenn also die y-Achse die Fläche und die x-Achse die Tage sind, dann gibt die Ableitung f'(x) an, wie sich die Fläche mit der Zeit verändert hat: eine Rate. Wenn die Steigung positiv ist, gab es im vergleich zum Zeitpunkt [mm] x_0 [/mm] eine Änderung der Wachsstumsrate im positiven Sinne, es wurde also MEHR Fläche als vorher zugedeckt, klar oder? Wenn es eine Wachsstumsrate von 2% gab, wurde vorher eine Fläche [mm] A_0 [/mm] bedeckt und heute eine Fläche, die um 2% größer als die am Vortag ist. Wäre die Steigung 0, mithin die Änderrungsrate 0, so hätten wir nicht 0 Fläche, sondern die GLEICHE Fläche wie am Vortag: kein Wachstum im Sinne einer Ausbreitung, obwohl trotzdem natürlich ZUSÄTZLICh Fläche bedeckt wurde, die Pilze sind weiter gewachsen, aber die RATE dieses Wachstums ist konstant geblieben. Verständlicher?
Also mit anderen Worten: Nach 1,7 Tagen haben die Pilze ihre maximale Wachsstumsrate erreicht und damit die größtmögliche Flächenzunahme pro Zeit. Nach diesem Zeitpunkt wachsen die Pilze zwar weiter, aber nicht mehr so STARK wie zuvor, das Wachstum geht zurück, sie erobern weniger Fläche pro Zeit als bei ihrem optimalsten Wert am Tag x=1,7
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