Wendepunkte < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:34 Mi 07.11.2007 | | Autor: | engel |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo!
Könnt ihr mir erklären, wie ich sehen kann, dass es für a<1 2 Wendestellen gibt und für a=1 keine? Weil irgendwie klappt das bei mir nie so.
Ich zähle auf euch, bitte helft mir! DANKE euch!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Könnt ihr mir erklären, wie ich sehen kann, dass es für a<1
> 2 Wendestellen gibt und für a=1 keine?
Hallo,
kannst Du uns erklären, worüber Du sprichst?
Vielleicht blicken wir durch, was Wendepunkte etc. betrifft, aber hellsehen können wir nicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 Mi 07.11.2007 | | Autor: | engel |
Die Aufgabe findet ihr in der Anlage. Da habe ich das einscannt, was meine Lehrerin aufgeschrieben hat.
Vielen Dank!
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> Die Aufgabe findet ihr in der Anlage. Da habe ich das
> einscannt, was meine Lehrerin aufgeschrieben hat.
Ah!
Ich habe nicht die ganze rechnung verfolgt, sie scheint für Deine Frage aber auch nicht wichtig zu sein.
Das Ergebnis lautet: x= [mm] \pm\wurzel{1-a}-1.
[/mm]
Der Knackpunkt ist hier die Wurzel.
Aus negativen Zahlen kannst Du keine Wurzel ziehen, daher gibt's für 1-a< 0 (<==> 1<a ) keine Lösung.
Wenn Du unter der Wurzel etwas Positives hast, 1-a>0 <==> 1>a hat Du zwei Lösungen für x, einmal mit der positiven Wurzle und einmaöl mit der negativen.
Wenn 1-a=0 <==> 1=a, dann gibt's genau eine Lösung, denn da die Wurzel hier Null ergibt, hat das [mm] \pm [/mm] keinen Effekt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Mi 07.11.2007 | | Autor: | engel |
Hallo!
Danke dir. Aber wenn ich nun auf Wendepunkte überprüfen will, muss ich doch noch irgendetwas mit den Vorzeichenwechsel machen oder so?
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Hallo engel,
genau so ist es. 
Ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung zeigt dir an, dass bei der untersuchten Stelle x ein Wendepunkt vorliegt.
Jetzt ist im konkreten Beispiel die zweite Ableitung
[mm]f''(x)=6x^2+12x+6a.[/mm]
Diese zweite Ableitung ist eine quadratische Funktion in x und hat deshalb maximal zwei Nullstellen. Vozeichenwechsel der zweiten Ableitung können nur dort sein. Du hast schon ausgerechnet, dass die Nullstellen der zweiten Ableitung bei
[mm]x=\sqrt{1-a}-1[/mm]
liegen.
Für [mm]a>1[/mm] kann es -- wie von angela.h.b. schon festgestellt wurde -- gar keine geben, da der Ausdruck unter der Wurzel negativ ist.
Für [mm]a<1[/mm] gibt es zwei verschiedene Nullstellen der zweiten Ableitung. Das sind zwei einfache Nullstellen, bei ihnen wechselt das Vorzeichen von [mm]f''[/mm]. Die zweite Ableitung hat zwei Vorzeichenwechsel, somit hat der Funktionsgraph von [mm]f[/mm] zwei Wendepunkte.
Der Sonderfall [mm]a=1[/mm] ist, ein bisschen bildlich formuliert, dass die zwei möglichen Nullstellen von [mm]f''(x)[/mm] 'beide' auf denselben x-Wert fallen. Dort hat man dann eine doppelte Nullstelle, deshalb liegt dort kein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung vor. Kein Vorzeichenwechsel bedeutet: kein Wendepunkt dort. 
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
Hugo
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