Wendepunkte Exp-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Sa 11.03.2017 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich versuche gerade, die Wendepunkte der Funktion [mm] f(t)=\bruch{e^t}{(1+e^t)^2} [/mm] zu berechnen.
Als Ableitungen habe ich mit Quotientenregel:
[mm] f'(t)=\bruch{e^t(1-e^t)}{(1+e^t)^3}
[/mm]
[mm] f''(t)=\bruch{2e^t(-1+e^t-e^{2t})}{(1+e^t)^2}
[/mm]
Wenn ich jetzt die zweite Ableitung gleich 0 setze, bekommen ich zwei verschiedene Lösungswege:
Lösungsweg 1
$f''(t)=0$
[mm] \bruch{2e^t(-1+e^t-e^{2t})}{(1+e^t)^2}=0 [/mm] | [mm] *(1+e^t)^2
[/mm]
[mm] 2e^t(-1+e^t-e^{2t})=0 [/mm] | Nullproduktsatz
I [mm] 2e^t=0 [/mm] (geht nicht)
II [mm] -1+e^t-e^{2t}=0 [/mm] | Logarithmus
[mm] ln(-1)+ln(e^t)-ln(e^{2t})=ln(0)
[/mm]
$ln(-1)$ und $ln(0)$ kann ich aber nicht berechnen.
Lösungsweg 2
$f''(t)=0$
[mm] \bruch{2e^t(-1+e^t-e^{2t})}{(1+e^t)^2}=0 [/mm] | [mm] *(1+e^t)^2
[/mm]
[mm] 2e^t(-1+e^t-e^{2t})=0 [/mm] | Nullproduktsatz
I [mm] 2e^t=0 [/mm] (geht nicht)
II [mm] -1+e^t-e^{2t}=0 [/mm] | +1
[mm] e^t-e^{2t}=1 [/mm] | Logarithmus
[mm] ln(e^t)-ln(e^{2t})=ln(1)
[/mm]
$t*ln(e)-2t*ln(e)=0$
$t*1-2t*1=0$
t-2t=0
-t=0
t=0
Welcher Lösungsansatz ist denn jetzt richtig?
Vielen Dank schonmal 
VG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Sa 11.03.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen!
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> Ich versuche gerade, die Wendepunkte der Funktion
> [mm]f(t)=\bruch{e^t}{(1+e^t)^2}[/mm] zu berechnen.
>
> Als Ableitungen habe ich mit Quotientenregel:
>
> [mm]f'(t)=\bruch{e^t(1-e^t)}{(1+e^t)^3}[/mm]
>
> [mm]f''(t)=\bruch{2e^t(-1+e^t-e^{2t})}{(1+e^t)^2}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt die zweite Ableitung gleich 0 setze,
> bekommen ich zwei verschiedene Lösungswege:
>
> Lösungsweg 1
>
> [mm]f''(t)=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{2e^t(-1+e^t-e^{2t})}{(1+e^t)^2}=0[/mm] | [mm]*(1+e^t)^2[/mm]
>
> [mm]2e^t(-1+e^t-e^{2t})=0[/mm] | Nullproduktsatz
>
> I [mm]2e^t=0[/mm] (geht nicht)
>
> II [mm]-1+e^t-e^{2t}=0[/mm] | Logarithmus
> [mm]ln(-1)+ln(e^t)-ln(e^{2t})=ln(0)[/mm]
>
> [mm]ln(-1)[/mm] und [mm]ln(0)[/mm] kann ich aber nicht berechnen.
>
> Lösungsweg 2
>
> [mm]f''(t)=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{2e^t(-1+e^t-e^{2t})}{(1+e^t)^2}=0[/mm] | [mm]*(1+e^t)^2[/mm]
>
> [mm]2e^t(-1+e^t-e^{2t})=0[/mm] | Nullproduktsatz
>
> I [mm]2e^t=0[/mm] (geht nicht)
>
> II [mm]-1+e^t-e^{2t}=0[/mm] | +1
> [mm]e^t-e^{2t}=1[/mm] | Logarithmus
> [mm]ln(e^t)-ln(e^{2t})=ln(1)[/mm]
> [mm]t*ln(e)-2t*ln(e)=0[/mm]
> [mm]t*1-2t*1=0[/mm]
> t-2t=0
> -t=0
> t=0
>
> Welcher Lösungsansatz ist denn jetzt richtig?
Keiner ! Du wendest "Regeln" an die es nicht gibt! Gell: manchmal weiß man Sachen, die gar nicht stimmen. Das tut weh.
Jedenfalls kannst Du die Regel
ln(a+b)=ln (a)+ln (b)
in die Tonne treten.
tipp :
setze [mm] x=e^{t}. [/mm] Das führt auf eine quadratische Gleichung für x.
>
> Vielen Dank schonmal
>
> VG, Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 Sa 11.03.2017 | | Autor: | Pacapear |
Oooohhh, verdammt!
Also nochmal:
[mm] 2e^t*(-1+e^t-e^{2t})=0 [/mm] | Nullproduktsatz
I [mm] 2e^t=0 [/mm] (geht nicht)
II [mm] -1+e^t-e^{2t}=0 [/mm] | Substitution: [mm] x=e^t
[/mm]
[mm] -1+x-x^2=0
[/mm]
[mm] -x^2+x-1=0 [/mm] | :(-1)
[mm] x^2-x+1 [/mm] | pq-Formel: p=-1, q=1
[mm] x_{1,2}=-\bruch{-1}{2}\pm\wurzel{(\bruch{-1}{2})^2-1}
[/mm]
Diese Gleichung hat keine Lösung.
Das würde ja eigentlich heißen, dass es keine Wendepunkte gibt.
Ein Online-Rechner spuckt mir allerdings für die Wendenpunkte die Ergebnisse [mm] W_1(-1,32|0,17) [/mm] und [mm] W_2(1,32|0,17).
[/mm]
Hab ich die Substitution falsch gemacht? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Gruß, Nadine
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Hallo,
> Oooohhh, verdammt!
>
> Also nochmal:
>
> [mm]2e^t*(-1+e^t-e^{2t})=0[/mm] | Nullproduktsatz
>
> I [mm]2e^t=0[/mm] (geht nicht)
>
> II [mm]-1+e^t-e^{2t}=0[/mm] | Substitution: [mm]x=e^t[/mm]
> [mm]-1+x-x^2=0[/mm]
> [mm]-x^2+x-1=0[/mm] | :(-1)
> [mm]x^2-x+1[/mm] | pq-Formel: p=-1, q=1
>
> [mm]x_{1,2}=-\bruch{-1}{2}\pm\wurzel{(\bruch{-1}{2})^2-1}[/mm]
>
> Diese Gleichung hat keine Lösung.
>
> Das würde ja eigentlich heißen, dass es keine Wendepunkte
> gibt.
>
> Ein Online-Rechner spuckt mir allerdings für die
> Wendenpunkte die Ergebnisse [mm]W_1(-1,32|0,17)[/mm] und
> [mm]W_2(1,32|0,17).[/mm]
>
> Hab ich die Substitution falsch gemacht?
>
Das Problem ist ein anderes: deine 2. Ableitung ist falsch (die erste stimmt, an der liegt es nicht).
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 So 12.03.2017 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
> Das Problem ist ein anderes: deine 2. Ableitung ist falsch
> (die erste stimmt, an der liegt es nicht).
Ok, nach mehrmaligem nachrechnen komme ich jetzt auf folgende zweite Ableitung:
[mm] f''(t)=\bruch{e^t*(1-2e^t)*(1+e^t)^3-e^t*(1-e^t)*e^t*3*(1+e^t)^2}{(1+e^t)^6}
[/mm]
[mm] =\bruch{e^t*(1+e^t)^2*[(1-2e^t)-(1-e^t)*e^t*3]}{(1+e^t)^6}
[/mm]
[mm] =\bruch{e^t*[1-2e^t-(3e^t-3e^{2t})]}{(1+e^t)^4}
[/mm]
[mm] =\bruch{e^t*[1-2e^t-3e^t+3e^{2t}]}{(1+e^t)^4}
[/mm]
[mm] =\bruch{e^t*(1-5e^t+3e^{2t})}{(1+e^t)^4}
[/mm]
Diese Ableitung liefert mir jetzt zwar schonmal zwei mögliche Wendepunkte bei [mm] x_1=1,43 [/mm] und [mm] x_2=0,23 [/mm] , aber das sind noch nicht die Werte, die es sein sollen ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Wäre super, wenn mir nochmal jemand helfen könnte.
VG, Nadine
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Hallo Pacapear,
ich habe als 2. Ableitung:
[mm] $f''(t)\;=\; \frac{e^t*(e^{2t}-4e^{t}+1)}{(1+e^t)^4}$
[/mm]
LG, Martinius
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Hallo,
jetzt aber noch Rücksubstitution machen
[mm] e^t=3,73
[/mm]
[mm] e^t=0,27
[/mm]
bzw. genau [mm] ln(2+\wurzel{3}) [/mm] und [mm] ln(2-\wurzel{3})
[/mm]
Steffi
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Hallo
[mm] f'(t)=\bruch{e^t*(1-e^t)}{(1+e^t)^3}
[/mm]
vermutlich stimmt schon der 1. Summand im Zähler nicht
kümmern wir uns zunächst um die Ableitung des Zählers nach Produktregel
Ableitung des Zählers [mm] e^t*(1-e^t):
[/mm]
[mm] e^t*(1-e^t)+e^t*(-1)*e^t
[/mm]
der Faktor -1 entsteht durch die Kettenregel,
[mm] e^t*(1-e^t)-e^{2t}
[/mm]
Ableitung des Nenners [mm] (1+e^t)^3
[/mm]
[mm] 3*(1+e^t)^2*e^t
[/mm]
der Faktor [mm] e^t [/mm] entsteht durch die Kettenregel
jetzt hast Du:
[mm] u=e^t*(1-e^t)
[/mm]
[mm] u'=e^t*(1-e^t)-e^{2t}
[/mm]
[mm] v=(1+e^t)^3
[/mm]
[mm] v'=3*(1+e^t)^2*e^t
[/mm]
jetzt Quotientenregel
[mm] f''(t)=\bruch{[e^t*(1-e^t)-e^2^t]*(1+e^t)^3-e^t*(1-e^t)
*3*(1+e^t)^2*e^t}{(1+e^t)^6}
[/mm]
jetzt kürze [mm] (1+e^t)^2
[/mm]
[mm] f''(t)=\bruch{[e^t*(1-e^t)-e^2^t]*(1+e^t)-e^t*(1-e^t)
*3*e^t}{(1+e^t)^4}
[/mm]
jetzt eckige Klammer auflösen
[mm] f''(t)=\bruch{e^t*(1-e^t)*(1+e^t)-e^2^t*(1+e^t)-e^t*(1-e^t)
*3*e^t}{(1+e^t)^4}
[/mm]
wende auf [mm] (1-e^t)*(1+e^t) [/mm] Binomische Formel an
[mm] f''(t)=\bruch{e^t*(1-e^2^t)-e^2^t*(1+e^t)-3*e^2^t*(1-e^t)
}{(1+e^t)^4}
[/mm]
im Zähler [mm] e^t [/mm] ausklammern
[mm] f''(t)=\bruch{e^t*[(1-e^2^t)-e^t*(1+e^t)-3*e^t*(1-e^t)]
}{(1+e^t)^4}
[/mm]
jetzt runde Klammern im Zähler auflösen
[mm] f''(t)=\bruch{e^t*[1-e^2^t-e^t-e^2^t-3*e^t+3*e^2^t]
}{(1+e^t)^4}
[/mm]
jetzt in der eckigen Klammer zusammenfassen
[mm] f''(t)=\bruch{e^t*[1+e^2^t-4e^t]}{(1+e^t)^4}
[/mm]
Steffi
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![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
