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| Aufgabe | Für jedes t [mm] \not= [/mm] 0 ist eine Funktion [mm] f_t [/mm] gegeben durch [mm] f_t(x)= \bruch{4}{1+tx^{2}}
[/mm]
a) Untersuchen Sie [mm] K_t [/mm] auf Symmetrie, Schnittpunkte mit der x-Achse, usw.
b) Bestimmen Sie die Ortslinie der Wendepunkte aller [mm] K_t
[/mm]
c) Für welchen Wert von t hat [mm] K_t [/mm] Wendetangenten mit den Steigungen 1 bzw. -1? |
Guten Abend!
Ich habe gerade Schwierigkeiten mit Teilaufgabe c)
Eigentlich soll t /laut Lösung/ t= [mm] \bruch{12}{81} [/mm] betragen; ich komme jedoch auf ein anderes Ergebnis. Und frage mich: Was mache ich falsch?
Die Wendepunkte habe ich schon richtig ausgerechnet. Es sind [mm] W_1 (\wurzel{\bruch{1}{3t}} [/mm] |3) sowie [mm] W_2 [/mm] (- [mm] \wurzel{\bruch{1}{3t}} [/mm] |3)
Meine Überlegungen waren folgende:
Damit die Steigung an den Wendepunkten 1 (bzw. -1) beträgt, muss
[mm] f'(\wurzel{\bruch{1}{3t}}) [/mm] = 1
betragen.
f'(x)= [mm] \bruch{-8tx}{1+tx^{2}}
[/mm]
[mm] \wurzel{\bruch{1}{3t}} [/mm] eingesetzt:
[mm] \bruch{-8t*\wurzel{\bruch{1}{3t}}}^{\bruch{4}{3}} [/mm] = 1
Das hab ich dann auf beiden Seiten potenziert, damit ich die Wurzel wegbekomme:
[mm] \bruch{64t^{2}*\bruch{1}{3t}}^{\bruch{16}{9}} [/mm] = 1
[mm] \bruch{64}{3}t [/mm] * [mm] \bruch{9}{16} [/mm] = 1
12t = 1
t = [mm] \bruch{1}{12}
[/mm]
Das ist aber nicht korrekt, da die Lösung ja t= [mm] \bruch{12}{81} [/mm] vorgibt.
Kann mir jemand sagen, was ich falsch mache?
Vielen Dank für die Hilfe!
LG Eli
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Hallo Elisabeth17,
also ganz spontan ist mir deine erste Ableitung aufgefallen.
Also meine sieht irgendwie anders aus.
[mm] f(x)=\bruch{4}{1+tx^2}=4*(1+tx^2)^{-1}. [/mm] Meines Wissens muss da die Kettenregel her.
[mm] f'(x)=4*(-1)*(a+tx^2)^{-2}*2x=\bruch{-8tx}{(1+tx^2)^2}. [/mm]
f''(x) sieht bei mir dann bestimmt auch anders aus.
Mich wundert jetz nur, dass deine errechneten Wendepunkte richtig sind (nach Lösung?).
Sollte meine Ableitung wirklich falsch sein, dann bitte PM an mich^^.
lG Kai
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Ich hab mit der Quotientenregel dieselbe 1. Abl. raus wie du.
Daher stimmen die Wendepunkte.
Bei c) habe ich aber tatsächlich die Ableitung falsch übertragen und daher falsch weitergerechnet!
Natürlich bin ich so blöd und merk das nicht. :(
Vielen Dank dafür, dass du meinen Fehler erkannt hast!
LG Eli
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