Wert einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimme den Wert von [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{2^k} [/mm] |
ich komme hiermit nicht klar, den Wert zu bestimmen...Wenn ich einen Bruch mit mehreren Termen habe, dann kann ich ja die Partialsummenzerlegung anwenden...aber was ich bei dieser Reihe machen soll weiß ich nun gar nicht.
Mathegirl
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Hallo,
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{2^k}=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\left(\bruch{1}{2}\right)^{k}
[/mm]
An was erinnert dich das? 
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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ähmm....also ist ist Partialbruchzerlegung doch möglich....manchmal übersieht man das Einfachste!
Danke!
Mathegirl
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ja, das das eine geometrische Reihe ist, das weiß ich. Mich irritiert nur, wie man den Wert dieser Reihe berechnet.
Wenn ich nach Ausführungen im Buch und Wikipedia gehe, dann müsste ich zu folgendem Ergebnis kommen:
[mm] s_n: \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{2^k}
[/mm]
Wegen [mm] qs_n= -\bruch{1}{2}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{2^k}= -\bruch{1}{4}+\bruch{1}{8}-\bruch{1}{16}+...+\bruch{(-1)^n}{4^n}
[/mm]
es folgt dann daher: [mm] s_n-qs_n= \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{2^k}+ \bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{2^k}
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}-\bruch{1}{8}+...+\bruch{(-1)^n}{2^n}- \bruch{1}{4}+\bruch{1}{8}-\bruch{1}{16}+...+\bruch{(-1)^n}{4^n}
[/mm]
Daraus ergibt sich dann: [mm] -\bruch{1}{2}+\bruch{(-1)^n}{4n}
[/mm]
stimmt das soweit? Ich bin mir da nicht ganz so sicher...
[mm] s_n= \bruch{\bruch{(-1)^n}{4^n}}{1+\bruch{1}{4}}
[/mm]
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Di 01.12.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
[mm] $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2^k}=\sum_{k=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^k=\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$
[/mm]
In der zweiten Gleichung wurde die Geometrische Reihe verwendet: Für $|q|<1$ gilt
[mm] $\sum_{k=0}^{\infty}q^k=\frac{1}{1-q}$
[/mm]
Gruß
Denny
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ja stimmt...das habe ich dann wohl falsch aufgeschrieben...aber sonst die Idee stimmt soweit?
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> ja stimmt...das habe ich dann wohl falsch
> aufgeschrieben...aber sonst die Idee stimmt soweit?
Hallo,
ich ich weiß jetzt nicht genau, von welcher Idee Du sprichst...
Meinst Du das hier?
Mir ist nicht klar, was dort Deine Intention war.
Klar ist aber dies: [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{-1}{2})^k [/mm] ist eine geometrische Reihe, die konvergiert weil ??? (Was muß für q in [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(q)^k [/mm] gelten, damit die Reihe konvergiert?)
So, wie Denny es sagt und vormacht, berechnet man deren Grenzwert.
Gruß v. Angela
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Ich bin dabei so vorgegangen, wie es an einem Beispiel im Mathebuch zum "Bestimmen des Wertes einer Reihe" erklärt war...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Di 01.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast versucht, den allgemeinen Beweis für ie Summe der geometrischen Reihe für deinen Spezialfall noch mal herzuleiten. dabei hast du nen Fehler gemacht. ich kopier mal deinen Beweis und korrigier ihn.
$ [mm] s_n: \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{2^k} [/mm] $
Wegen $ [mm] qs_n= -\bruch{1}{2}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{2^k}= -\bruch{1}{4}+\bruch{1}{8}-\bruch{1}{16}+...+\bruch{(-1)^n}{2^n} [/mm] $
Die Summe fängt mit k=0 an, also [mm] \bruch{(-1)^0}{2^0}=1 [/mm] und nicht bei k=1
deshalb steht da [mm] s_n=1-1/2+1/4....
[/mm]
[mm] q*s_n=-1/2*s_n=-1/2+..........+\bruch{(-1)^n}{2^{n+1}} [/mm]
ab hier falsch
es folgt dann daher: $ [mm] s_n-qs_n= \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{2^k}+ \bruch{1}{2}\cdot{}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{2^k} [/mm] $
$ [mm] -\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}-\bruch{1}{8}+...+\bruch{(-1)^n}{2^n}- \bruch{1}{4}+\bruch{1}{8}-\bruch{1}{16}+...+\bruch{(-1)^n}{4^n} [/mm] $
auch das [mm] 4^n [/mm] ist falsch, den [mm] 2*2^n [/mm] ergibt [mm] 2^{n+1} [/mm] nicht [mm] 4^n
[/mm]
Daraus ergibt sich dann: $ [mm] -\bruch{1}{2}+\bruch{(-1)^n}{4n} [/mm] $
falsch
richtig ist jetzt [mm] s_n-qs_n=s_n+1/2s_n=1+\bruch{(-1)^n}{2^{n+1}}
[/mm]
daraus [mm] s_n(1+1/2)=1+\bruch{(-1)^n}{4^{n+1}}
[/mm]
[mm] s_n=\bruch{1+\bruch{(-1)^n}{4^{n+1}}}{1+1/2}
[/mm]
für n gegen [mm] \infty [/mm] geht [mm] \bruch{(-1)^n}{4^{n+1}}gegen [/mm] 0 und du hast 2/3
Wenn du das einmal für ein beliebiges q gezeigt hast, kannst du ab jetz immer als richtig verwenden :
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}q^i=\bruch{1}{1-q} [/mm] solange |q|<1
Gruss leduart
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![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
geometrische Reihe