Wertebereich & Verh. @ Ränder < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 So 21.10.2007 | | Autor: | swine |
| Aufgabe | [mm] j(x)=\bruch{x^2+4x+3}{x+1}
[/mm]
Lösung: [mm] D(j)=\IR/ [/mm] {-1}
Verhalten an den Rändern: [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}=\infty [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}=-\infty
[/mm]
Wertbereich: [mm] W(j)=\IR/ [/mm] {2} |
Wieso wird das Verhalten an den Rändern nicht auf die Lücke -1 untersucht?
Also [mm] \limes_{x\rightarrow-1^-} [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow-1^+}
[/mm]
und wieso ist der Wertbereich [mm] W(j)=\IR/ [/mm] {2}
Denn wenn ich -1,00000000000000001 für x rechne, bekomme ich als Lösung 2 und somit ist 2 doch im Wertebereich inbegriffen?!
Besten Dank für eure Antworten
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Hi,
also erstmal zu den Def.-Lücken. Natürlich, ist die Definitionslücke -1 mit einer senkrechten Asymptote . Man untersucht den rechts- und linksseitigen Grenzwert um herauszufinden, ob es sich um eine Polstelle mit oder ohne Vorzeichenwechsel, oder eine hebbare Definitionslücke handelt. Das ist hier der Fall
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das Randverhalten stimmt natürlich.
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}=\infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}=-\infty
[/mm]
s. Loddar's Antwort
Lg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 So 21.10.2007 | | Autor: | swine |
Danke, aber ist dann der Wertbereich deiner Meinung nach einfach [mm] \IR [/mm]
?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:52 So 21.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo swine!
Siehe meine Antwort ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:53 So 21.10.2007 | | Autor: | MontBlanc |
Hi,
siehe Loddar's Antwort. Sorry....
Lg
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 15:52 So 21.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo eXeQteR!
Du hast Dich bei der Definitionslücke vertan. Dort legt keine Polstelle vor, sondern lediglich eine stetig hebbare Lücke.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 So 21.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo swine!
Vielleicht wird das Ganze klarer, wenn man sich veranschaulicht, dass es sich bei [mm] $x_0 [/mm] \ = \ -1$ um eine stetig hebbare Lücke handelt (und nicht um eine Polstelle).
Dafür formen wir mal um:
$$j(x) \ = \ [mm] \bruch{x^2+4x+3}{x+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(x+1)*(x+3)}{x+1} [/mm] \ = \ x+3$$
Es verbleibt also ein Kurvenbild einer Geraden, die an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ -1$ nicht definiert ist.
Von daher nimmt diese Gerade auch nicht den Funktionswert $g(-1) \ = \ -1+3 \ = \ +2$ ein, da dort ja unsere Definitionslücke vorliegt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 So 21.10.2007 | | Autor: | swine |
Danke für die Antwort!
Theoretisch könnte ich jetzt dank euren Antworten diese Aufgabe lösen, doch ich verstehe nicht was eine hebbare Lücke und Polstelle ist und vorallem wie ich die erkennen soll.
Habt ihr mir dazu vielleicht irgendwelche Theorie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 So 21.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo swine!
Eine Polstelle liegt an den Stellen einer gebrochen-rationalen Funktion vor, bei der im Nenner eine Nullstelle vorliegt, jedoch nicht im Zähler.
Bei einer hebbaren Definitionslücke haben wir sowohl im Nenner als auch im Zähler eine Nullstelle vorliegen.
Gruß
Loddar
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