Wertebereich & Zwichenwertsatz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Fr 19.01.2007 | | Autor: | edward |
| Aufgabe | Bestimmen Sie mit Hilfe des Zwischenwertsatzes den Wertebereich von
f : [0, $ [mm] \infty [/mm] $ [ [mm] \to \IR, [/mm] f(x) := [mm] ln(2-e^{-x}) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe folgende Frage: Wie bestimme ich den Wertebereich einer Funktion mit Hilfe des Zwischenwertsatzes? Was ich bräuchte wäre eine, so weit wie möglich, allgemeine Vorgehensweise vom Stil Schritt 1, Schritt 2, ...
Ich würde zunächst eine Behauptung bezüglich des Wertebereichs aufzustellen. Nur wie sehe ich anhand der Funktion, z.B. der oben angegebenen, was der Wertebereich ist um die Behauptung aufzustellen? Und wie beweise ich diese Behauptung dann?
Viele Grüße,
edward
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Fr 19.01.2007 | | Autor: | SEcki |
> ich habe folgende Frage: Wie bestimme ich den Wertebereich
> einer Funktion mit Hilfe des Zwischenwertsatzes? Was ich
> bräuchte wäre eine, so weit wie möglich, allgemeine
> Vorgehensweise vom Stil Schritt 1, Schritt 2, ...
globale Maxima und Minima bestimmen - der Rest ergibt sich für stetige Funktionen aus dem ZWS.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Fr 19.01.2007 | | Autor: | edward |
Danke! Könntest Du das bitte mal anhand der Beispielaufgabe ausführen?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Fr 19.01.2007 | | Autor: | SEcki |
> Danke! Könntest Du das bitte mal anhand der Beispielaufgabe
> ausführen?
Können tu ich das - aber machen nicht, denn es geht darum, dass du das können sollst, und die Aufgabe ist dazu ja gut geeignet! Was verstehst du denn an der "Anweisung" nicht? Wir würdest du denn die globalen Extrema der obigen Funktion berechnen? Dazu noch ein Tip: innere und Randextrema, Verhalten im Unendlichen.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Fr 19.01.2007 | | Autor: | edward |
Ja, das ist das Problem, ich hab keine Ahnung von Extrema. Mir ist klar, dass ich durch den Zwischenwert sagen kann, dass bei der stetigen Funktion alle y [mm] \in \IR [/mm] zwischen Supremum und Infimum im Wertebereich vorkommen(?). Bei der gegebenen Aufgabe würde ich also eine Behauptung aufstellen und dann muss ich wohl zum einen zeigen, dass Wf [mm] \subseteq [/mm] des Intervalls ist, von dem ich behauptet habe, dass es der Wertebereich sei, und zudem noch, dass dieses Intervall [mm] \subseteq [/mm] Wf ist, denn dann ist Wf = dem Intervall. Nur kann ich es einfach nicht umsetzen, wenn es denn in der Theorie so weit überhaupt korrekt ist. Wahrscheinlich ist es einfach, tut mir leid, aber ich bekomms ohne kommentiertes Beispiel, so dass ich es einmal vollkommen nachvollziehen kann nicht auf die Reihe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Fr 19.01.2007 | | Autor: | SEcki |
> Ja, das ist das Problem, ich hab keine Ahnung von Extrema.
Überhaupt keine? Wo kommt die Aufgabe vor? Was sind deine Vorraussetzungen? Jeder Abiturien hat gewisse Ahnung von Extrema ... die Funktion ist differenzierbar!
> Mir ist klar, dass ich durch den Zwischenwert sagen kann,
> dass bei der stetigen Funktion alle y [mm]\in \IR[/mm] zwischen
> Supremum und Infimum im Wertebereich vorkommen(?). Bei der
> gegebenen Aufgabe würde ich also eine Behauptung aufstellen
> und dann muss ich wohl zum einen zeigen, dass Wf [mm]\subseteq[/mm]
> des Intervalls ist, von dem ich behauptet habe, dass es der
> Wertebereich sei, und zudem noch, dass dieses Intervall
> [mm]\subseteq[/mm] Wf ist, denn dann ist Wf = dem Intervall.
Häh? Etwas wirr. Du musst blos, falls existent, ein Maximum und Minimum der Funktion berechnen (wenn's geht), und sich das Verhalten gegen Unendlich anschauen. Also a) Limes gegen [m]+\infty[/m], b) Wert für 0, c) innere Extrema durch Differenzieren.
> Nur
> kann ich es einfach nicht umsetzen, wenn es denn in der
> Theorie so weit überhaupt korrekt ist. Wahrscheinlich ist
> es einfach, tut mir leid, aber ich bekomms ohne
> kommentiertes Beispiel, so dass ich es einmal vollkommen
> nachvollziehen kann nicht auf die Reihe.
Na, mach mal obiges so weit du kannst - ich hab jetzt ja kleine Schritte aufgeführt!
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Fr 19.01.2007 | | Autor: | edward |
> Überhaupt keine? Wo kommt die Aufgabe vor? Was sind deine
> Vorraussetzungen? Jeder Abiturien hat gewisse Ahnung von
> Extrema ... die Funktion ist differenzierbar!
Naja, mein Abitur ist rund 4 Jahre her und ich hatte nen Grundkurs. Extrema sind für mich höchster und tiefster Wert, den eine Funktion annimmt, mehr ist nicht hängen geblieben. Die Aufgabe kommt in einer Mathematikvorlesung für Informatiker vor und eigentlich mache ich diese Aufgabe um das mal nachvollziehen und dann auf andere Aufgaben anwenden zu können, denn die Aufgabe, die ich eigentlich zu machen habe (auch im Rahmen der Vorlesung) ist ein wenig umfangreicher.
> Häh? Etwas wirr. Du musst blos, falls existent, ein Maximum
> und Minimum der Funktion berechnen (wenn's geht), und sich
> das Verhalten gegen Unendlich anschauen. Also a) Limes
> gegen [m]+\infty[/m], b) Wert für 0, c) innere Extrema durch
> Differenzieren.
Danke für die Schritte, das hilft mir natürlich schonmal sehr, ich versuche es also mal:
a) bin ich mir irgendwie sehr unsicher:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] ln(2- [mm] e^{-x}) [/mm] =
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] ln(2- (1/exp(0)) =
ln(2- [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} e^{-x}) [/mm] =
ln(2-0) = ln2
b) f(0) = ln(2- (1/exp(0))) = ln(2-1) = 0
so weit richtig?
c) kann ich leider garnichts zu sagen, denn Differenzierbarkeit als Thema beginnt gerade erst in der Vorlesung, die Aufgaben sind jedoch schon jetzt
zu lösen. Gibt es da einen anderen Weg mit Hilfe des ZWS?
bis dahin schonmal vielen Dank!
edward
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Fr 19.01.2007 | | Autor: | SEcki |
> Naja, mein Abitur ist rund 4 Jahre her und ich hatte nen
> Grundkurs. Extrema sind für mich höchster und tiefster
> Wert, den eine Funktion annimmt, mehr ist nicht hängen
> geblieben.
Aha! Für innere Extrema Ableitung Null setzen weisst du aber noch, hmm?
> Danke für die Schritte, das hilft mir natürlich schonmal
> sehr, ich versuche es also mal:
> a) bin ich mir irgendwie sehr unsicher:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] ln(2- [mm]e^{-x})[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] ln(2- (1/exp(0)) =
> ln(2- [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} e^{-x})[/mm] =
> ln(2-0) = ln2
So ungefähr schon, man muss sich halt kalr sein, dass man den Limes reinzoiehen darf wg. Stetigkeit
> b) f(0) = ln(2- (1/exp(0))) = ln(2-1) = 0
>
> so weit richtig?
Ja.
> c) kann ich leider garnichts zu sagen, denn
> Differenzierbarkeit als Thema beginnt gerade erst in der
> Vorlesung, die Aufgaben sind jedoch schon jetzt
> zu lösen. Gibt es da einen anderen Weg mit Hilfe des ZWS?
Zeige das die Funktion immer größer gleich 0 ist, aber auch immer kleiner gleich [m]\ln(2)[/m]. Wie man aber da drauf kommt? Wenn man das baleitet, ist due ableitung größer null, also streng monoton ... erinenrt dich das an die Schulzeit?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Fr 19.01.2007 | | Autor: | edward |
> Aha! Für innere Extrema Ableitung Null setzen weisst du
> aber noch, hmm?
Ehrliche Antwort? ...Nein, erinnere mich leider nicht.
> Zeige das die Funktion immer größer gleich 0 ist, aber auch
> immer kleiner gleich [m]\ln(2)[/m]. Wie man aber da drauf kommt?
> Wenn man das baleitet, ist due ableitung größer null, also
> streng monoton ... erinenrt dich das an die Schulzeit?
Ich erinnere mich immernoch nicht und weiß ehrlich gesagt auch nicht genau wie der Begriff "innere Extrema" definiert ist.
(Die Vorlesung enthielt bisher weder innere Extrema noch die Ableitung, die ich eigentlich aus der Schule kennen müsste)
Ich sehe aber, dass die Ableitung > 0 ist. Ich nehme an die Funktion ist streng monoton wachsend. Aber weiter...?
Ich würde sagen, da 0 der kleinste Wert aus dem Definitionsbereich von f ist und f(0) = 0, gilt [mm] \forall [/mm] x > 0 ist f(x) > 0 (da f streng monoton wachsend)
Wie ich nun zeige dass es kleiner gleich ln(2) bleibt ist mir bisher noch nicht klar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Sa 20.01.2007 | | Autor: | SEcki |
> > Aha! Für innere Extrema Ableitung Null setzen weisst du
> > aber noch, hmm?
>
> Ehrliche Antwort? ...Nein, erinnere mich leider nicht.
Hmmm.
> Ich erinnere mich immernoch nicht und weiß ehrlich gesagt
> auch nicht genau wie der Begriff "innere Extrema" definiert
> ist.
Es gibt eine Umgebung, eine kleine, in der der Punkt maximal ist. zB beim Cosinus ist 0 ein solcher.
> Ich sehe aber, dass die Ableitung > 0 ist. Ich nehme an
> die Funktion ist streng monoton wachsend. Aber weiter...?
Abgesehen davon, dass ich das schon schrieb ... aber wiue beweist du das mit deinen Mitteln?
> Ich würde sagen, da 0 der kleinste Wert aus dem
> Definitionsbereich von f ist und f(0) = 0, gilt [mm]\forall[/mm] x >
> 0 ist f(x) > 0 (da f streng monoton wachsend)
> Wie ich nun zeige dass es kleiner gleich ln(2) bleibt ist
> mir bisher noch nicht klar.
Nene, du kannst die konkreten Ungleichungne lösen, zB [m]\ln(2-e^{-x})\le \ln(2)[/m]. Das Exponizieren, dann auflösen. Genauso für die linke Seite. So, was erhalten wir jetzt als Wertebereich? Der eine wird angenommen, der andre nicht, noch so als Tip.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Sa 20.01.2007 | | Autor: | edward |
> Abgesehen davon, dass ich das schon schrieb ... aber wiue
> beweist du das mit deinen Mitteln?
Wie ich beweise, dass die Funktion streng monoton wachsend ist?
Ok: Vorraussetzung ist wenn x1 < x2 ist, dann ist f(x1) < f(x2) für alle x, also:
x1<x2 [mm] \gdw [/mm] -x1 > -x2 [mm] \gdw e^{-x1} [/mm] > [mm] e^{-x2} \gdw [/mm] 2- [mm] e^{-x1} [/mm] < 2- [mm] e^{-x2} \gdw [/mm] f(x1) = [mm] ln(2-e^{-x1}) [/mm] < [mm] ln(2-e^{-x2}) [/mm] = f(x2)
somit ist die Vorraussetzung erfüllt, also ist f streng monoton wachsend.
Jetzt habe ich doch im Prinzip schon alles, oder? denn wenn der Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} ln(2-e^{-x}) [/mm] = ln(2) ist, der niedrigste Wert des Definitionsbereichs 0 mit f(0) = 0, und ich bewiesen habe, dass f streng monoton wachsend ist dann [mm] \Rightarrow [/mm] Wertebereich von f [0,ln2[
(zumindest die beiden Werte). Dass ln2 nicht drin liegt sehe ich, wie ich das durch einen Beweis bekomme sehe ich allerdings nicht.
> Nene, du kannst die konkreten Ungleichungne lösen, zB
> [m]\ln(2-e^{-x})\le \ln(2)[/m]. Das Exponizieren, dann auflösen.
> Genauso für die linke Seite. So, was erhalten wir jetzt als
> Wertebereich? Der eine wird angenommen, der andre nicht,
> noch so als Tip.
Danke, der Inhalt des Tipps war mir bereits bewusst, aber mal sehen ob ich
dich bezüglich der Ungleichung richtig verstehe:
[m]\ln(2-e^{-x})\le \ln(2)[/m] [mm] \Rightarrow [/mm] 2- (1/exp(x)) [mm] \le [/mm] 2
[mm] \Rightarrow [/mm] -(1/exp(x)) [mm] \le [/mm] 0
So wars vermutlich nicht gemeint? Also die letzte Ungleichung ist zwar allgemein für alle x richtig, aber folgt daraus, dass die Ausgangsungleichung auch richtig ist? Wenn ja, dann stimmt das [mm] \le [/mm] aber nicht, oder? denn ln(2) ist ja nicht mehr im Wertebereich drin, sondern es strebt nach ln(2). Entschuldige, wenn ich dich da missverstanden habe, was die Ungleichung angeht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 Sa 20.01.2007 | | Autor: | SEcki |
> somit ist die Vorraussetzung erfüllt, also ist f streng
> monoton wachsend.
Ja, gut!
> Jetzt habe ich doch im Prinzip schon alles, oder? denn wenn
> der Grenzwert
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} ln(2-e^{-x})[/mm] = ln(2) ist, der
> niedrigste Wert des Definitionsbereichs 0 mit f(0) = 0, und
> ich bewiesen habe, dass f streng monoton wachsend ist dann
> [mm]\Rightarrow[/mm] Wertebereich von f [0,ln2[
> (zumindest die beiden Werte). Dass ln2 nicht drin liegt
> sehe ich, wie ich das durch einen Beweis bekomme sehe ich
> allerdings nicht.
Naja, die Funktion wächst streng monoton und strebt gegen Unendlich gegen diesen wert, also kann diese ihn vorher nicht annhemen, nimmt aber alle werte kleiner an, wegen stetigkeit (ZWS) und Definition vom Limes!
> Danke, der Inhalt des Tipps war mir bereits bewusst, aber
> mal sehen ob ich
> dich bezüglich der Ungleichung richtig verstehe:
> [m]\ln(2-e^{-x})\le \ln(2)[/m] [mm]\Rightarrow[/mm] 2- (1/exp(x)) [mm]\le[/mm] 2
> [mm]\Rightarrow[/mm] -(1/exp(x)) [mm]\le[/mm] 0
> So wars vermutlich nicht gemeint?
Doch.
> Also die letzte
> Ungleichung ist zwar allgemein für alle x richtig, aber
> folgt daraus, dass die Ausgangsungleichung auch richtig
> ist?
Du hast doch blos Äquivalenzumformungen gemacht!
>Wenn ja, dann stimmt das [mm]\le[/mm] aber nicht, oder? denn
> ln(2) ist ja nicht mehr im Wertebereich drin, sondern es
> strebt nach ln(2).
Na und? Die Aussage ist immer noch richtig. Sagt ja keiner, dass es im Wertebreich liegt.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Sa 20.01.2007 | | Autor: | edward |
> Ja, gut!
Juchuh, Lob! :) Danke.
> Du hast doch blos Äquivalenzumformungen gemacht!
Stimmt ja! Warum hab ich eigentlich immer so ein riesen Brett vorm Kopf?!
> Na und? Die Aussage ist immer noch richtig. Sagt ja keiner,
> dass es im Wertebreich liegt.
Auch klar, danke!
Ich schätze jetzt hab ichs dank diner Hilfe endlich begriffen, vielen Dank nochmal!
Wenn ich also z.B. mal f : [mm] \IR \to \IR [/mm] habe untersuche ich
[mm] \limes_{x\rightarrow +\infty} [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} [/mm] von f, richtig?
Ich werde mich dann nun mal dran machen das soeben gelernte auf eine andere Aufgabe anzuwenden.
Darf ich in dem Fall, dass ich irgendwo nicht weiterkomme nochmal nachfragen?
In jedem Fall nochmals vielen Dank für deine Zeit!
Viele Grüße,
edward
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Sa 20.01.2007 | | Autor: | SEcki |
> Wenn ich also z.B. mal f : [mm]\IR \to \IR[/mm] habe untersuche ich
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow +\infty}[/mm] und [mm]\limes_{x\rightarrow -\infty}[/mm]
> von f, richtig?
Und innere Extrema etc pp
> Darf ich in dem Fall, dass ich irgendwo nicht weiterkomme
> nochmal nachfragen?
Öffne dann einen neuen Thread, aber ansonsten klar!
> In jedem Fall nochmals vielen Dank für deine Zeit!
Naja, war doch besser so, wenn du es dir selbst erarbeitet hast, oder?
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Sa 20.01.2007 | | Autor: | edward |
> Naja, war doch besser so, wenn du es dir selbst erarbeitet
> hast, oder?
Ja, war es natürlich! Danke.
Ich hänge auch schon wieder an Kleinigkeiten, aber da versuche ich mich noch durchzubeißen, bevor vielleicht ein neuer thread kommt.
Grüße
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