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Hallo,
kann mir jemand einen Tipp geben, wie nachweisen kann, dass
0 <= x - [mm] sqrt(x^2-1) [/mm] <=1 gilt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo katerkarlo!
Bestimme die Umkehrfunktion dieser Funktion. Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion ist auch gleichzeitig der gesuchte Wertebereich.
Gruß
Loddar
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danke loddar,
aber wie werde ich die wurzel los? so kriege ich das ja nicht nach x aufgelöst? gibts da irgendeinen trick?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo katerkarlo!
$$y \ = \ [mm] x-\wurzel{x^2-1}$$
[/mm]
[mm] $$\wurzel{x^2-1} [/mm] \ = \ x-y$$
[mm] $$x^2-1 [/mm] \ = \ [mm] (x-y)^2$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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dann hätte ich:
[mm] x^2 [/mm] -1 = [mm] x^2 [/mm] - 2xy + [mm] y^2
[/mm]
-1 = - 2xy + [mm] y^2
[/mm]
x = 0,5 * (y + 1/y)
Definitionsbereich sind hier aber mind. die reellen Zahlen außer 0
was aber nicht als Wertebereich hinkommt....
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Ich sehe das Problem ein wenig darin, dass die zu beweisende Gleichung nicht unbedingt stimmt.
Wähle ich zum Beispiel ein etwas größeres negatives x = -5, steht da:
0 <= -10 <= 1 f.A.
Das Problem dürfte sein, dass die Wurzel positive Werte liefert, auch wenn x negativ ist. Erst für folgende Funktion wäre es meiner Meinung nach wirklich richtig:
[mm] f(x)=\begin{cases} x - sqrt(x^{2} - 1), & \mbox{für } x >= 0 \\ x + sqrt(x^{2} - 1), & \mbox{für } x < 0 \end{cases}
[/mm]
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hey,
danke hatte ganz vergessen zu posten,
dass es für x>=0 gelten soll.
Mein Fehler, sorry. Glaube, jetzt weiß ich wie es gehen könnte.
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Das mit der Umkehrfunktion mag eleganter zu sein, scheint aber irgendwie nicht so richtig zum Ziel zu führen. Eine einfachere Lösung ist meiner Meinung nach:
Zu zeigen.:
a)- 0 <= x - [mm] sqrt(x^{2} [/mm] - 1),
b)- x - [mm] sqrt(x^{2} [/mm] - 1) <= 1.
Und das scheint relativ einfach zu gehen:
a)
[mm] sqrt(x^{2} [/mm] - 1) <= x | [mm] ()^{2}
[/mm]
[mm] x^{2} [/mm] - 1 <= [mm] x^{2} [/mm] | - [mm] x^{2}
[/mm]
-1 <= 0 w.A.
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