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Forum "Analysis des R1" - Wertebereich trigon. Funktion
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Wertebereich trigon. Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:56 Mo 04.08.2008
Autor: tedd

Aufgabe
Bestimmen Sie den Wertebereich folgender Funktion:
f(x)=3*sin(x)+4*cos(2x)

f(x)=3*sin(x)+4*cos(2x)
Habe ich erstmal umgeschrieben zu:
[mm] f(x)=6*sin(x)*cos(x)+4*cos^2(x)-4*sin^2(x) [/mm]
und ein bisschen nachgedacht...

sin(x) erreicht maximale Werte wo cos(x) Nullstellen hat.
cos(x) und sin(x) können maximale y-Werte von y=1 erreichen.

Ich dachte erst bei [mm] x=\bruch{\pi}{4} [/mm] also dem ersten Schnittpunkt von sin(x) und cos(x) wird ein maximalwert erreicht aber [mm] 4*cos^2(x)-4*sin^2(x) [/mm] wird dann ja 0 und es bleibt nur noch der linke Term über.
Bei x=0 bzw [mm] x=\bruch{\pi}{2} [/mm] fällt zwar 6*sin(x)*cos(x) und jeweils [mm] -4*sin^2(x) [/mm] oder [mm] 4*cos^2(x) [/mm] weg aber trotzdem müssten dort die Funktion doch ihre Maxima/Minima besitzen...

f(0)=4
[mm] f(\bruch{\pi}{2})=-4 [/mm]

Ist die Überlegung richtig?
Dann wäre der [mm] W_f=\{y|-4\ley\le4\} [/mm]
        
Bezug
Wertebereich trigon. Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:08 Mo 04.08.2008
Autor: M.Rex

Hallo

Ncihtt ganz. Berechne mal die Extrempunkte. Dann wirst du sehen, dass alle y-Werte auf einer (Bzw zwei) Parallelen zur x-Achse liegen, die aber nicht bei [mm] y=\pm4 [/mm] liegen.

[Dateianhang nicht öffentlich]

Also:

f'(x)=0
[mm] \gdw 3*\cos(x)+8*\sin(2x)=0 [/mm]
Jetzt nutze mal die Additionstheoreme:
[mm] \gdw 3*\cos(x)+8*\sin(2x)=0 [/mm]
[mm] \gdw 3*\cos(x)-16\sin(x)\cos(x)=0 [/mm]
[mm] \gdw \cos(x)*(3-16\sin(x))=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow \cos(x)=0 \vee 3-16\sin(x)=0 [/mm]

Daraus berechne mal die Extrempunkte, und damit dann den Maximalen Def-bereich.

Marius


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Wertebereich trigon. Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:48 Mo 04.08.2008
Autor: tedd

Ahh Mist!
Mir ist ein Schreibfehler dazwischengekommen.
Tut mir total leid, sorry...

Die Funktion lautet egitl:
[mm] f(x)=3*sin({\color{red}2}x)+4*cos(2x) [/mm]

dann ist
f'(x)=6*cos(2x)-8*sin(2x)

[mm] 0=6*sin^2(x)-6*cos^2(x)-16*sin(x)*cos(x) [/mm]
Aber hier komme ich dann auch nicht mehr weiter :(
Bezug
                        
Bezug
Wertebereich trigon. Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:36 Mo 04.08.2008
Autor: M.Rex

Hallo

Du hast:

[mm] 0=6*\cos(2x)-8*\sin(2x) [/mm]
[mm] \gdw 0=6*\cos(2x)-8*\bruch{\sin(2x)*\cos(2x)}{\cos(2x)} [/mm]
[mm] \gdw 0=\cos(2x)*\left[6*\bruch{\cos(2x)}{\cos(2x)}-8*\bruch{\sin(2x)}{\cos(2x)}\right] [/mm]
[mm] \gdw 0=\cos(2x)*\left[6-8*\tan(2x)\right] [/mm]
[mm] \Rightarrow \cos(2x)=0 \vee 6-8*\tan(2x)=0 [/mm]

Marius
Bezug
                                
Bezug
Wertebereich trigon. Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:30 Mo 04.08.2008
Autor: tedd

Hey danke Marius!

0=cos(2x)
[mm] x=\bruch{\pi}{4} [/mm]

0=6-8*tan(2x)
[mm] x=\bruch{arctan(\bruch{6}{8})}{2} [/mm]

[mm] W_f=\{y|-5\le y \le5\} [/mm]

Gruß,
tedd
Bezug
                                
Bezug
Wertebereich trigon. Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:57 Mo 04.08.2008
Autor: Somebody


> Hallo
>  
> Du hast:
>  
> [mm]0=6*\cos(2x)-8*\sin(2x)[/mm]
> [mm]\gdw 0=6*\cos(2x)-8*\bruch{\sin(2x)*\cos(2x)}{\cos(2x)}[/mm]
>  
> [mm]\gdw 0=\cos(2x)*\left[6*\bruch{\cos(2x)}{\cos(2x)}-8*\bruch{\sin(2x)}{\cos(2x)}\right][/mm]
>  
> [mm]\gdw 0=\cos(2x)*\left[6-8*\tan(2x)\right][/mm]
>  [mm]\Rightarrow \cos(2x)=0[/mm][notok] [mm] \vee 6-8*\tan(2x)=0[/mm][ok]

Ein $x$ mit [mm] $\cos(2x)=0$ [/mm] kann keine Lösung der ursprünglichen Nullstellengleichung der Ableitung sein, denn für ein solches $x$ ist [mm] $\sin(2x)=\pm [/mm] 1$ und daher [mm] $6*\cos(2x)-8*\sin(2x)=6\cdot 0-8(\pm 1)\neq [/mm] 0$.
Es wäre einfacher gewesen, diese goniometrische Gleichung wie folgt umzuformen:

[mm]\begin{array}{lcll} 0 &=& 6*\cos(2x)-8*\sin(2x) &\big| +8\sin(2x)\\ 8\sin(2x) &=& 6\cos(2x) &\big| \div 8, \div \cos(2x)\\ \tan(2x) &=& \frac{3}{4} &\big| \arctan\\ 2x &=& \arctan\left(\frac{3}{4}\right)+n\cdot\pi, n\in\IZ &\big| \div 2\\ x &=& \frac{1}{2}\cdot\arctan\left(\frac{3}{4}\right)+n\cdot\frac{\pi}{2},n\in \IZ \end{array}[/mm]

Die Division durch [mm] $\cos(2x)$ [/mm] ist hier zulässig, weil wir $x$ mit [mm] $\cos(2x)=0$ [/mm] als mögliche Lösungen von vornherein ausschliessen können.
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