Wertebereich und Def.bereich < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 Sa 14.05.2005 | | Autor: | saoody |
Hallo liebe Mitarbeiter,
wir nehmen zurzeit in Mathe ziemlich komlexe Funktionen durch wovon wir den Definitionsbereich und Wertebereich bestimmen müssen.
Jedoch bin ich aus dieser Sache voll raus. Ich hatte früher Mathe als Grundkurs gehabt und Funktionen in dieser Art habe ich noch nie gehabt. sprich ln oder arcsin als gebrochenrationale Funktion.
zum Beispiel: f(x) = 1/3 ln((1-tan(x) / 1+tan(x))
Hoffe das mir jemand den Unterschied erklären kann und wie ich dies bestimmen kann.
Gruß von Saoody
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:01 Sa 14.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Saoodi
> Jedoch bin ich aus dieser Sache voll raus. Ich hatte
> früher Mathe als Grundkurs gehabt und Funktionen in dieser
> Art habe ich noch nie gehabt. sprich ln oder arcsin als
> gebrochenrationale Funktion.
>
> zum Beispiel: f(x) = 1/3 ln((1-tan(x) / 1+tan(x))
>
> Hoffe das mir jemand den Unterschied erklären kann und wie
> ich dies bestimmen kann.
>
Für den Definitionsbereich brauchst du nur zu prüfen, für welche Werte denn die Funktion überhaupt ausgewertet werden kann.
Wenn zum Beispiel ein Bruch in der Funktion vorkommt, dann darf der Nenner nie Null werden. Die Werte von x, die zu einem solchen Nenner führen würden, sind aus dem Definitionbereich auszuschliessen.
Oder: der Logarithmus von reellen Zahlen kann nur ausgewertet werden, wenn das Argument positiv ist.
Oder beim Arcussinus. Da das die Umkehrfunktion des Sinus ist (hier aber auch nur auf reelle Werte bezogen), kannst du sofort sagen, dass der Definitionsbereich das Intervall zwischen -1 und +1 ist, die Grenzen mit eingeschlossen.
Weil ja die Werte des Sinus nur zwischen -1 und +1 liegen können.
Für den Wertebereich musst du dir nur überlegen: wenn x alle Werte des Definitionsbereichs durchläuft, welche Funktionswerte werden dann erzeugt? Die Menge diese Funktionswerte ist dann der Wertebereich.
Beispiel: [mm] $f(x)=\sin(x)$
[/mm]
Hier ist der Definitionsbereich die Menge der reellen Zahlen. Der Wertebereich ist das Intervall [-1,+1].
Oder:
[mm] $f(x)=\bruch{1}{x^2+1}$
[/mm]
Auch hier gehören alle reellen Zahlen zum Definitionsbereich, weil ja der Nenner nirgends Null werden kann. Der Wertebereich ist aber das links offene Intervall (0,1].
Wäre die Funktion allerdings als Abbildung [mm] $\IC \mapsto \IC$ [/mm] definiert, dann müsste man die Zahlen $+i_$ und $-i_$ vom Definitionsbereich ausschliessen. 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Sa 14.05.2005 | | Autor: | saoody |
Danke für die Rückmeldung
OK, hab verstanden, daß der Nenner bei gebrochenrationalen Funktionen nicht null sein darf. Also quasi müsste man von allen möglichen Funktionen wie zum Bsp(arcsin, arccos, arctan, ln...) den Definitions- und Wertebereich auswendig wissen. Wenn ichs richtig verstanden habe, ist zum Beispiel der Def.bereich von sin der Wertebereich von arcsin und daß gilt auch für alle andere Funktionen.
Was ich jedoch immer noch nicht verstehe, ist der Ausdruck mit offener Klammer bzw. eckiger Klammer(das mit Intervall) !
Und wenn die Funktion so lauten würde f(x) = ln (1-tan(x) / 1+tan(x)) , worauf muss ich jetzt achten (auf ln oder tan) ?
Ich glaube da der Nenner nicht null werden kann, ist der Def.bereich durch alle reellen Zahlen bestimmt. Aber was mache ich mit Wertebereich in diesem Fall, ich meine nehme ich jetzt den einfach von ln oder achte ich nun auf tan im Nenner ?
Gruß von Saoody und danke im vorraus!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Sa 14.05.2005 | | Autor: | lga79 |
Hallo,
du musst beides beachten
1. wie du auch gesagt hast, der Nenner darf nie 0 sein
also: 1+tan(x)=0
[mm] \gdw [/mm] tan(x) = -1
[mm] \gdw [/mm] x = -0,785 (in RAD)
2. tan ( [mm] \pi [/mm] /2) ist ebenfalls nicht definiert
3.ebenfalls ist ln(0) nicht definiert
also für 1-tan(x)=0
[mm] \gdw [/mm] tan(x) = 1
[mm] \gdw [/mm] x =2,72
also gilt die Gleichung nicht für x = -0,785, x= [mm] \pi [/mm] /2 und x=2,72
f(x) = ln (1-tan(x) / 1+tan(x))
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 So 15.05.2005 | | Autor: | saoody |
Hallo,
das heißt das der Definitionsbereich ganz R ist, da der Nenner nicht null sein kann und ln = 0 nicht definiert ist.
Aber ihr habt den Bruch (den Zähler, als auch den Nenner) nach x aufgelöst, und ich dachte das man so die Nullstellen bestimmt. Oder sehe ich das falsch, weil ich immer noch nicht weiß, wie ich nun den Wertebereich für diese Funktion schreiben muß, da ich nur die Werte habe für die diese Funktion kein Wertebereich hat, oder nicht ?
Tut mir leid das ich es immer noch nicht ganz verstehe !
Gruß von Saood
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Hi, saoody,
Du hast Dir da ja gleich ein richtiges Kaliber rausgesucht!
> das heißt das der Definitionsbereich ganz R ist, da der
> Nenner nicht null sein kann und ln = 0 nicht definiert
> ist.
SAOOO einfach ist das natürlich NICHT!
Also: f(x) = [mm] ln(\bruch{1-tan(x)}{1+tan(x)})
[/mm]
Du hast hier DREI Bedingungen zu erfüllen:
(1) Der Tangens selbst hat Definitionslücken, und zwar:
x = [mm] (2k+1)*\bruch{\pi}{2}, (k\in\IZ), [/mm] also: alle ungeradzahligen Vielfachen von [mm] \bruch{\pi}{2}. [/mm] Die sind also schon mal SICHER nicht in D.
(2) Der Nenner darf nicht =0 sein. tan(x) darf also nicht gleich -1 sein. Wegen der Periode des Tangens gilt:
tan(x) = -1 für x = [mm] -\bruch{\pi}{4}+k*\pi [/mm] = [mm] (4k-1)*\bruch{\pi}{4}
[/mm]
(3) Das Argument des ln muss POSITIV sein, also muss
[mm] \bruch{1-tan(x)}{1+tan(x)} [/mm] > 0 gelten.
Um diese Bruchungleichung zu lösen, muss man Zähler- und Nenner-Nullstellen ausrechnen (die des Nenners sind aus (2) bekannt), und dann die Fälle
1.Fall: 1-tan(x)>0 [mm] \wedge [/mm] 1+tan(x)>0
sowie
2.Fall: 1-tan(x)<0 [mm] \wedge [/mm] 1+tan(x)<0 betrachten.
Am Ende ergibt sich als Definitionsmenge die Vereinigungsmenge unendlich vieler Intervalle:
D = ... [mm] \cup \mbox{ } ]-\bruch{5}{4}\pi [/mm] ; [mm] -\bruch{3}{4}\pi [/mm] [ [mm] \cup \mbox{ } ]-\bruch{1}{4}\pi [/mm] ; [mm] +\bruch{1}{4}\pi [/mm] [ [mm] \cup \mbox{ } ]+\bruch{3}{4}\pi [/mm] ; [mm] +\bruch{5}{4}\pi [/mm] [ [mm] \cup [/mm] ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Sa 14.05.2005 | | Autor: | Loddar |
N'Abend saoody!
Zusätzlich zu der Betrachtung von lga79 (siehe oben), mußt Du für Deine Funktion noch das Gesamtargument untersuchen, da die [mm] $\ln$-Funktion [/mm] nur definiert ist für: $z \ > \ 0$ !!
$f(x) \ = \ [mm] \ln\left[\bruch{1-\tan(x)}{1+\tan(x)}\right]$
[/mm]
Also mußt Du noch untersuchen bzw sicherstellen, daß gilt:
[mm] [center]$\bruch{1-\tan(x)}{1+\tan(x)} [/mm] \ > \ 0$[/center]
Gruß
Loddar
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