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| Aufgabe | a) Zeigen sie: [mm] W_{sin}=\IC
[/mm]
b) Bestimmen sie Definitions- und Wertebereich der komplexen Funktion [mm] f(z)=tan(z)=\bruch{sin(z)}{cos(z)} [/mm] und eine Rechenformel für die Notumkehrfunktion arctan(z). |
Hallo,
zur a) hab ich mir gedacht:
sin(z)=sin(x+jy)=sin(x)*cosh(y)+j*cos(x)*sinh(y)
man sieht dann, dass der realteil jeden beliebigen wert annehmen kann, und der imaginärteil auch, somit [mm] W_{sin}=\IC. [/mm] aber wäre die begründung ausreichend?
zur b) diese habe ich auch versucht durch obige Umformung auszudrücken, aber bei dem entsprechenden Term kürzt sich scheinbar nichts weg. Welcher Weg würde sich da eher anbieten?
Gibt es auch graphische Lösungsverfahren?
gruß und schönen abend!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 Di 19.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
> a) Zeigen sie: [mm]W_{sin}=\IC[/mm]
> b) Bestimmen sie Definitions- und Wertebereich der
> komplexen Funktion [mm]f(z)=tan(z)=\bruch{sin(z)}{cos(z)}[/mm] und
> eine Rechenformel für die Notumkehrfunktion arctan(z).
Hallo,
> Hallo,
> zur a) hab ich mir gedacht:
> sin(z)=sin(x+jy)=sin(x)*cosh(y)+j*cos(x)*sinh(y)
> man sieht dann, dass der realteil jeden beliebigen wert
> annehmen kann, und der imaginärteil auch, somit
> [mm]W_{sin}=\IC.[/mm] aber wäre die begründung ausreichend?
Sicherlich ist Dein Weg über das komplexe Additionstheorem möglich, aber wieso argumentierst Du nicht mit Hilfe der Eulerschen Formel über (ich hoffe, dass ich mich nicht verrechnet habe)
[mm] $\sin(z)=\frac{1}{2i}(e^{z}-e^{-z})=-\frac{i}{2}(e^{x}e^{iy}-e^{-x}e^{-iy})=-\frac{i}{2}(e^{x}(\cos(y)+i\sin(y))-e^{-x}(\cos(-y)+i\sin(-y)))$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}e^{x}\sin(y)-e^{-x}\cos(y)+i(-\frac{1}{2}e^{x}\cos(y)+e^{-x}\sin(y))$
[/mm]
Hier sind alle Ausdrücke für alle [mm] $x,y\in\IR$ [/mm] wohldefiniert, weswegen der Sinus für alle [mm] $z\in\IC$ [/mm] wohldefiniert ist und [mm] $\IC$ [/mm] als Definitionsbereich besitzt.
> zur b) diese habe ich auch versucht durch obige Umformung
> auszudrücken, aber bei dem entsprechenden Term kürzt sich
> scheinbar nichts weg. Welcher Weg würde sich da eher
> anbieten?
Ich würde ähnlich wie in Aufgabenteil $a)$ vorgehen. Für den Sinus weißt Du nach $a)$, dass der Definitionsbereich ganz [mm] $\IC$ [/mm] ist. Analog zu $a)$ kannst Du auch zeigen, dass der Definitionsbereich vom Kosinus ganz [mm] $\IC$ [/mm] ist. Damit ist der Tangens nur in den Nullstellen des Kosinus nicht definiert (da sich dort Pole befinden), der bekanntlich nur die bereits aus dem reellen bekannten Nullstellen besitzt, d.h. der Definitionsbereich des Tangens ist
[mm] $D:=\IC\backslash\{k\pi+\frac{\pi}{2}\mid k\in\IZ\}$
[/mm]
> Gibt es auch graphische Lösungsverfahren?
Ich verstehe diese Frage nicht ganz. Ein graphisches Lösungsverfahren für diese Aufgabe? Nein. Eine graphische Darstellung dieser Funktionen? Ja, dabei kommt es darauf an, wie Du die Abbildungen darstellen möchtest, z.B.
[mm] $z\longmapsto\mathrm{Re}(\sin(z))$
[/mm]
[mm] $z\longmapsto\mathrm{Im}(\sin(z))$
[/mm]
[mm] $z\longmapsto |\sin(z)|$
[/mm]
und viele mehr.
> gruß und schönen abend!
Gruß Denny
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