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Hallo,
ich habe mich bei der Bearbeitung einer Aufgabe folgendes gefragt:
Es sei: f: [mm] A\toB [/mm] eine Funktion.
A ist ja der Definitionsbereich und B der Wertebereich.
Sei A:=[0,1] und A=B.
So nun die Frage:
Man kann alle [mm] x\in[1,0] [/mm] einsetzen.
Gilt dann, dass alle f(x) Werte zwischen 0 und 1 annimmt und kein Wert aufgelassen wird? (Wenn der Intervall sich in R befindet)
Und wie wäre es für
g: [mm] \IR\to\IR
[/mm]
Nimmt g(x) alle werte von [mm] \IR [/mm] an? Eigentlich nicht oder?
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> Hallo,
> ich habe mich bei der Bearbeitung einer Aufgabe folgendes
> gefragt:
> Es sei: f: [mm]A\to B[/mm] eine Funktion.
> A ist ja der Definitionsbereich und B der Wertebereich.
> Sei A:=[0,1] und A=B.
> So nun die Frage:
> Man kann alle [mm]x\in[1,0][/mm] einsetzen.
> Gilt dann, dass alle f(x) Werte zwischen 0 und 1 annimmt
> und kein Wert aufgelassen wird? (Wenn der Intervall sich in
> R befindet)
>
> Und wie wäre es für
> g: [mm]\IR\to\IR[/mm]
> Nimmt g(x) alle werte von [mm]\IR[/mm] an? Eigentlich nicht oder?
Hallo,
[mm] f:A\to [/mm] B bedeutet bloß, daß die Funktionswerte der Mege B entstammen, nicht, daß jeder Wert aus B angenommen wird.
Wenn das der Fall ist (surjektive Funktion) , dann schreibt man f(A)=B.
I.a. ist bloß [mm] f(A)\subseteq [/mm] B.
Gruß v. Angela
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hey
ok, danke.
In der Aufgabe gibt es eine stetige Funktion f von I in I, mit I=[0,1].
Man soll beweisen, dass für mindestens ein x gilt: f(x)=x.
Hier muss man wahrscheinlich den Zwischenwertsatz benutzen.
Auf die Aufgabe bezogen bedeutet das, dass ein [mm] u\in[f(0),f(1)] [/mm] für f(0)<f(1) (bzw [mm] u\in[f(1),f(0)] [/mm] für f(0)>f(1)) existiert, für welches es ein [mm] c\in[0,1] [/mm] gibt mit f(c)=u.
Wir müssen also f(x)=x beweisen.
1. Fall: f(0)<f(1):
und
2.Fall: f(0)>f(1)
so und nun weiß ich nicht weiter.
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> hey
> ok, danke.
> In der Aufgabe gibt es eine stetige Funktion f von I in I,
> mit I=[0,1].
> Man soll beweisen, dass für mindestens ein x gilt:
> f(x)=x.
> Hier muss man wahrscheinlich den Zwischenwertsatz
> benutzen.
Hallo,
ja.
> Auf die Aufgabe bezogen bedeutet das, dass ein
> [mm]u\in[f(0),f(1)][/mm] für f(0)<f(1) (bzw [mm]u\in[f(1),f(0)][/mm] für
> f(0)>f(1)) existiert, für welches es ein [mm]c\in[0,1][/mm] gibt
> mit f(c)=u.
???
Ich weiß nicht so recht, was Du meinst.
Aufgrund des Zwischenwertsatze wird jeder Wert zwischen f(0) und f(1) angenommen, das stimmt.
Es gibt also für jedes u zwischen f(0) und f(1) ein c mit f(c)=u.
> Wir müssen also f(x)=x beweisen.
Betrachte mal die Funktion g(x)=f(x)-x und denke über die Existenz von Nullstellen nach.
Gruß v. Angela
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ok
g(x)=f(x)-x..mhm
das problem für mich ist, dass ich garnicht weiß, wie groß das f(1) und f(0) ist, und wie sie zueinander sind.
Nullstellen für g(x) gibts nur dann wenn gilt:
g(0)<0 und g(1)>0 und das wissen wir ja nicht.
Es kann ja sein, dass beide Werter oberhalb der x-achse liegen.
Das versteh ich einfach nicht
auch für g(x) ist das Intervall: [0,1]
d.h: g(0)=f(0) und g(1)=f(1)-1
Für den 1. Fall(f(0)<f(1)) bedeutet das, dass g(1)=f(1)-1 <=g(0) ist, da f(1) nur einen wert zwischen 0 und 1 annehmen kann und somit kleiner gleich 0 ist.
g(0) ist ein Wert zwischen 0 und 1 weil f(0) einen wert zwischen 0 und 1 ist.Also g(0)>=0
somit könnte man sagen: g(1)<=0<=g(0)
D.h es gibt ein u für das gilt: g(u)=0=f(u)-u [mm] \gdw [/mm] f(u)=u.
oh, könnte das richtig sein?
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Ist das korrekt:
g(x)=f(x)-x
x=0:
[mm] g(0)=f(0)-0=f(0)\ge0, [/mm] da [mm] 0\le f(0)\le1
[/mm]
x=1:
[mm] g(1)=f(1)-1\le0, [/mm] da ja gilt: [mm] 0\le f(1)\le1
[/mm]
also:
[mm] g(1)\le0\leg(0)
[/mm]
Da f(x) stetig ist im Intervall [0,1] und x ja auch stetig ist, ist g(x) auch stetig, da es eine Kompositon aus stetigen Funktionen ist.
Der Wertebereich von g ist nicht das Intervall sondern ein anderer. z.b A.
Nach dem Zwischenwertsatz gilt, dass ein u existiert, für das gilt: g(u)=0
(die kleinergleich-zeichen stören doch nicht oder? Weil beim Zwischenwertsatz meist: <0 und >0 steht.)
g(u)=0=f(u)-u [mm] \gdw [/mm] f(u)=u
und somit wäre die Aussage bewiesen.
ist das richtig?
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> Ist das korrekt:
> g(x)=f(x)-x
> x=0:
> [mm]g(0)=f(0)-0=f(0)\ge 0,[/mm] da [mm]0\le f(0)\le1[/mm]
Hallo,
genau.
>
> x=1:
> [mm]g(1)=f(1)-1\le 0,[/mm] da ja gilt: [mm]0\le f(1)\le1[/mm]
ja.
> also:
> [mm]g(1) \le 0\le g(0)[/mm]
ja, und dies ist von äußerster Wichtigkeit.
> Da f(x) stetig ist im Intervall [0,1] und x ja auch stetig
> ist, ist g(x) auch stetig, da es eine Kompositon aus
> stetigen Funktionen ist.
Genau.
> Der Wertebereich von g ist nicht das Intervall sondern ein
> anderer. z.b A.
Erstens weiß man nicht, was A sein soll, und zweitens ist das völlig wurscht, drittens stimmt es für f(x)=1 nicht.
Das macht aber nicht, weil Du diese Überlegung weiterhin überhaupt nicht verwendest. Einfach weglassen.
> Nach dem Zwischenwertsatz gilt, dass ein u existiert, für
> das gilt: g(u)=0
> (die kleinergleich-zeichen stören doch nicht oder? Weil
> beim Zwischenwertsatz meist: <0 und >0 steht.)
Hier merkst Du selbst, daß was noch nicht so ganz in Ordnung ist, und genau das hat Dir leduart gesagt:
1.Fall:
wenn g(0)=0 oder g(1)=0, dann hast Du schon einen Fixpunkt gefunden
2.Fall:
g(0)<0<g(1)
> Nach dem Zwischenwertsatz gilt, dass ein u existiert, für
> das gilt: g(u)=0
> g(u)=0=f(u)-u [mm]\gdw[/mm] f(u)=u
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:01 So 14.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Überlegung in der Mitteilung ist noch falsch.
Es ist richtig bei 0 anzufangen.
aber deine Argumente sind falsch
falls g(x)=0 hast du ja einen Punkt mit f(0)=0 also f(x)=x
entsprechend falls g(1)=1
also hast du einen Fixpkt bei 0 oder 1
oder es gilt f(0)>0 und f(1)<1
und jetzt kannst du loslegen
entweder hast du schon nen Fixpkt oder.......
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:15 So 14.02.2010 | | Autor: | Roxas_Roxas |
Könntest du sagen, was genau an der Argumentation falsch ist?
Das versteh ich noch nicht.
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