Widerspruch der Rationalität < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Mo 20.10.2014 | | Autor: | Skyrula |
| Aufgabe | Hallo zusammen,
ich soll beweisen, das [mm] \wurzel[3]{7} [/mm] nicht rational ist. |
Um zu beweisen, das [mm] \wurzel[3]{7} [/mm] nicht rational ist, habe ich mir einen Beweis durch Widerspruch ausgesucht und damit folgendermaßen begonnen:
Annahme: [mm] \wurzel[3]{7} \in \IQ={\bruch{p}{q} \in \IZ, q \not= 0}
[/mm]
Behauptung: [mm] \wurzel[3]{7} \in \IR
[/mm]
Beweis: Um zu beweisen, dass [mm] \wurzel[3]{7} [/mm] keine rationale Zahl ist, möchte ich die Tatsache benutzen, dass p und q nicht mehr miteinander gekürzt werden kann und dies widerlegen. Also forme ich erstmal um:
[mm] \wurzel[3]{7}=\bruch{p}{q} \gdw 7=\bruch{p^{3}}{q^{3}} \Rightarrow 7q^{3}=p^{3}
[/mm]
Daraus schließe ich, dass [mm] p^{3} [/mm] durch 7 teilbar sein muss und demnach auch p durch 7 teilbar sein muss. Demnach ist p=7*a (a [mm] \in \IN).
[/mm]
Setzt man dies ein, komme ich auf:
[mm] 7q^{3}=(7a)^{3} \gdw 7q^{3}=21a^{3}
[/mm]
Da nun beide Seiten durch sieben teilbar sind, widerlege ich, dass die Zahlen nicht weiter gekürzt werden können und damit nicht irrational sein können.
Ich hoffe es ist alles richtig und falls nicht bitte ich um Hilfe, weil ich da tatsächlich lange dran gesessen bin heute!
Ich danke Euch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 Mo 20.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo zusammen,
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> ich soll beweisen, das [mm]\wurzel[3]{7}[/mm] nicht rational ist.
> Um zu beweisen, das [mm]\wurzel[3]{7}[/mm] nicht rational ist, habe
> ich mir einen Beweis durch Widerspruch ausgesucht und damit
> folgendermaßen begonnen:
>
> Annahme: [mm]\wurzel[3]{7} \in \IQ={\bruch{p}{q} \in \IZ, q \not= 0}[/mm]
>
> Behauptung: [mm]\wurzel[3]{7} \in \IR[/mm]
na, die Behauptung ist langweilig. Du willst
[mm] $\sqrt[3]{7} \in \IR \red{\,\setminus\,\IQ}$
[/mm]
zeigen!
> Beweis: Um zu beweisen, dass [mm]\wurzel[3]{7}[/mm] keine rationale
> Zahl ist, möchte ich die Tatsache benutzen, dass p und q
> nicht mehr miteinander gekürzt werden kann und dies
> widerlegen. Also forme ich erstmal um:
>
> [mm]\wurzel[3]{7}=\bruch{p}{q} \gdw 7=\bruch{p^{3}}{q^{3}} \Rightarrow 7q^{3}=p^{3}[/mm]
>
> Daraus schließe ich, dass [mm]p^{3}[/mm] durch 7 teilbar sein muss
Genau, es folgt
$7 [mm] \mid p^3\,.$
[/mm]
> und demnach auch p durch 7 teilbar sein muss.
Warum denn eigentlich? Vielleicht kann man da noch mehr dazu sagen,
wenn man [mm] $p^3$ [/mm] in seiner Primfaktorzerlegung darstellt?
> Demnach ist p=7*a (a [mm]\in \IN).[/mm]
>
> Setzt man dies ein, komme ich auf:
> [mm]7q^{3}=(7a)^{3} \gdw 7q^{3}=\red{\,21\,}a^{3}[/mm]
Nö, es ist
[mm] $7q^3=(7a)^3$ $\iff$ $7q^3=7^3a^3$ $\iff$ $q^3=7^2*a^3$
[/mm]
> Da nun beide Seiten durch sieben teilbar sind, widerlege
> ich, dass die Zahlen nicht weiter gekürzt werden können
> und damit nicht irrational sein können.
Das verstehe ich nicht. Was ich jetzt vielmehr sehe, ist, dass doch [mm] $q^3$ [/mm] durch
[mm] $7\,$ [/mm] teilbar ist: $7 [mm] \mid q^3\,.$
[/mm]
Was folgt dann für [mm] $q\,$? [/mm] Und es galt ja auch $7 [mm] \mid [/mm] p$...
> Ich hoffe es ist alles richtig und falls nicht bitte ich um
> Hilfe,
Gerne. Es war nicht alles richtig, aber es waren schon gute Teile dabei,
die zielführend waren.
> weil ich da tatsächlich lange dran gesessen bin heute!
Falls noch etwas unklar ist, einfach nachfragen!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:04 Di 21.10.2014 | | Autor: | Skyrula |
Vielen Dank für deine tolle Antwort! Die war sehr hilfreich. Ich habe über den Schritt nachgedacht, das wenn 7|p³ auch 7|p sein muss. Um dies zu beweisen, hast du mir die Primfaktorzerlegung nahe gelegt. Ich weiß zwar wie ich das zerlegen kann, nur nicht wie ich mathematisch argumentieren muss um dies zu belegen. Eine erneute Hilfe wäre echt toll!
Vielen Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:20 Di 21.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für deine tolle Antwort! Die war sehr
> hilfreich. Ich habe über den Schritt nachgedacht, das wenn
> 7|p³ auch 7|p sein muss. Um dies zu beweisen, hast du mir
> die Primfaktorzerlegung nahe gelegt. Ich weiß zwar wie ich
> das zerlegen kann, nur nicht wie ich mathematisch
> argumentieren muss um dies zu belegen. Eine erneute Hilfe
> wäre echt toll!
ist halt die Frage, wie wir das machen wollen. Ich denke, wir machen das
vielleicht doch anders, Du musst wissen, dass [mm] $7\,$ [/mm] Primzahl ist und dass für
Primzahlen [mm] $p\,$ [/mm] gilt:
Aus $p [mm] \mid [/mm] (m*n)$ folgt $p [mm] \mid [/mm] m$ oder $p [mm] \mid n\,.$
[/mm]
Das wird einfacher werden:
$7 [mm] \mid p^3=p^2*p$ [/mm]
liefert dann $7 [mm] \mid [/mm] p$ oder $7 [mm] \mid p^2=p*p\,.$
[/mm]
Falls $7 [mm] \mid [/mm] p,$ so sind wir fertig. Anderenfalls folgt aus
$7 [mm] \mid [/mm] (p*p)$
dann aber
$7 [mm] \mid [/mm] p$ oder $7 [mm] \mid p\,,$
[/mm]
d.h. $7 [mm] \mid p\,.$
[/mm]
Mit der Primfaktorzerlegung müßte es eigentlich auch gehen, die Überlegung
dahingehend wäre:
Wenn $7 [mm] \mid p\,,$ [/mm] dann kommt [mm] $7\,$ [/mm] nicht in der Primfakorzerlegung von [mm] $p\,$
[/mm]
vor. Genau jeder Primfaktor von [mm] $p\,$ [/mm] kommt aber (mit 3-facher Vielfachheit)
in der Primfaktorzerlegung von [mm] $p^3$ [/mm] vor. Wäre nun $7 [mm] \mid p^3\,,$ [/mm] so widerspräche
das der Eindeutigkeit (i.a. bis auf Assoziiertheit) der Primfaktorzerlegung.
Aber eigentlich ist diese Eindeutigkeit schon irgendwie ein starkes Geschütz...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:22 Di 21.10.2014 | | Autor: | Skyrula |
Besten Dank, jetzt habe ich es!
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