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Aufgabenstellung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hi,
bei dieser Aufgabe sollen wir die dazugehörte Matrix bestimmen anhand der "Funktionen" die gegeben sind. Jetzt ist es bei dieser Teilaufgabe nicht möglich die Matrix zu bestimmen, da es einen Widerspruch gibt!
[mm] $F_1=\{\vektor{1 \\ 1 \\ 1}\}=\vektor{2 \\ 1 \\ 3}$
[/mm]
[mm] $F_2=\{\vektor{2 \\ 2 \\ 2}\}=\vektor{-1 \\ 2 \\ 1}$
[/mm]
Da beide Funktionen zur selben Matrix gehört besteht der Widerspruch in folgendem:
[mm] $F_1=\{\red{2*}\vektor{1 \\ 1 \\ 1}\}=\red{2*}\vektor{2 \\ 1 \\ 3}$
[/mm]
[mm] $F_1=\{\vektor{2 \\ 2 \\ 2}\}=\vektor{4 \\ 2 \\ 6} \red{\not= } [/mm] \ [mm] F_2=\{\vektor{2 \\ 2 \\ 2}\}=\vektor{-1 \\ 2 \\ 1}$
[/mm]
In diesem Fall war das jetzt noch relativ einfach zu sehen!
Jetzt hatte ich mir die Frage gestellt, wenn das ganze jetzt nicht mehr auf den ersten Blick zu sehen ist, wie kann ich das dann herausfinden, ob alle 3 Funktionen zu der Matrix gehören?
Ich hatte mir überlegt, dass ich evtl. Prüfen kann ob die Vektoren die aus der Funktion linear Abhänig sind, aber ich weiß nicht ob das so in die richtige Richtung geht.
Was meint ihr?
Danke für die Hilfe
Gruß Thomas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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> Aufgabenstellung:
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hi,
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> bei dieser Aufgabe sollen wir die dazugehörte Matrix
> bestimmen anhand der "Funktionen" die gegeben sind.
Hallo,
"anhand der Funktionswerte" muß es richtig heißen.
Es geht ja hier um lineare Abbildungen, welche durch ihre Funktionswerte auf einer Basis eindeutig bestimmt sind.
Wenn Du z.B. [mm] f(v_1)=w_1, f(v_2)=w_2, f(v_3)=w_3, f(v_4)=w_4 [/mm] gegeben hast,
mußt Du auf jeden Fall erstmal eine maximale unabhängige Teilmenge von [mm] (v_1, [/mm] ..., [mm] v_4) [/mm] finden.
Deren Funktionswerte "steckst" Du dann in die Spalten der Abbildungsmatrix.
Nun wendest Du diese Matrix auf die verbleibenden der Vektoren [mm] (v_1, [/mm] ..., [mm] v_4) [/mm] an. Kommt das Richtige heraus, ward Dir durch [mm] f(v_1)=w_1, f(v_2)=w_2, f(v_3)=w_3, f(v_4)=w_4 [/mm] eine lineare Abbildung definiert, kommst nicht das Richtige heraus, definiert [mm] f(v_1)=w_1, f(v_2)=w_2, f(v_3)=w_3, f(v_4)=w_4 [/mm] keine lineare Abbildung.
In Deinem konkreten Fall hast Du die Matrix [mm] M_{BB'}=\pmat{ 2 & 4 \\ 1 & 2 \\3&-1}, [/mm] welche Dir die Abbildung beschreibt von der Basis [mm] B=(\vektor{1 \\ 1\\ 1},\vektor{0 \\ 1\\ 2}) [/mm] in die Einheitsbasis B'.
Jetzt würdest Du [mm] M_{BB'}\vektor{2 \\ 0}_B [/mm] berechnen, und gucken, ob [mm] \vektor{-1 \\ 2\\ 1} [/mm] herauskommt.
( [mm] \vektor{2 \\ 0}_B=2*\vektor{1 \\ 1\\ 1}+0*\vektor{0 \\ 1\\ 2})
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Fr 23.02.2007 | | Autor: | KnockDown |
> > Aufgabenstellung:
> >
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
> > Hi,
> >
> > bei dieser Aufgabe sollen wir die dazugehörte Matrix
> > bestimmen anhand der "Funktionen" die gegeben sind.
>
> Hallo,
>
> "anhand der Funktionswerte" muß es richtig heißen.
>
> Es geht ja hier um lineare Abbildungen, welche durch ihre
> Funktionswerte auf einer Basis eindeutig bestimmt sind.
>
> Wenn Du z.B. [mm]f(v_1)=w_1, f(v_2)=w_2, f(v_3)=w_3, f(v_4)=w_4[/mm]
> gegeben hast,
> mußt Du auf jeden Fall erstmal eine maximale unabhängige
> Teilmenge von [mm](v_1,[/mm] ..., [mm]v_4)[/mm] finden.
>
> Deren Funktionswerte "steckst" Du dann in die Spalten der
> Abbildungsmatrix.
>
> Nun wendest Du diese Matrix auf die verbleibenden der
> Vektoren [mm](v_1,[/mm] ..., [mm]v_4)[/mm] an. Kommt das Richtige heraus,
> ward Dir durch [mm]f(v_1)=w_1, f(v_2)=w_2, f(v_3)=w_3, f(v_4)=w_4[/mm]
> eine lineare Abbildung definiert, kommst nicht das Richtige
> heraus, definiert [mm]f(v_1)=w_1, f(v_2)=w_2, f(v_3)=w_3, f(v_4)=w_4[/mm]
> keine lineare Abbildung.
>
> In Deinem konkreten Fall hast Du die Matrix [mm]M_{BB'}=\pmat{ 2 & 4 \\ 1 & 2 \\3&-1},[/mm]
> welche Dir die Abbildung beschreibt von der Basis
> [mm]B=(\vektor{1 \\ 1\\ 1},\vektor{0 \\ 1\\ 2})[/mm] in die
> Einheitsbasis B'.
> Jetzt würdest Du [mm]M_{BB'}\vektor{2 \\ 0}_B[/mm] berechnen, und
> gucken, ob [mm]\vektor{-1 \\ 2\\ 1}[/mm] herauskommt.
>
> ( [mm]\vektor{2 \\ 0}_B=2*\vektor{1 \\ 1\\ 1}+0*\vektor{0 \\ 1\\ 2})[/mm]
>
> Gruß v. Angela
Hi Angela,
vielen Dank für diese ausführliche Erklärung!
Gruß Thomas
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