Widerspruchsbeweis r.F. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für die Folgen [mm] a_{n} [/mm] n [mm] \in \N [/mm] gelte für n > [mm] n_{0}
[/mm]
:
a) [mm] |a_{n+1}| \le q*|a_{n}| [/mm] mit 0 < q < 1.
Zeigen sie, dass [mm] a_{n} [/mm] eine Nullfolge ist.
b) [mm] |a_{n+1}| \ge q*|a_{n}| [/mm] mit q > 1 und [mm] a_{n_{0}} \not= [/mm] 0
Zeigen sie, dass diese Folge divergent ist.
q in beiden Fällen element R
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So zu meinen Ansätzen:
a)
Zunächst dachte ich daran einen Widerspruchsbeweis zu führen:
Angenommen der Grenzwert von [mm] a_{n} [/mm] sei [mm] \not= [/mm] 0
[mm] |a_{n+1}| \le q*|a_{n}| [/mm] (teile durch [mm] |a_{n}| [/mm] )
<=> [mm] \bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} \le [/mm] q
Jetzt Grenzwert gegen unendlich bilden:
(Grenzwertsatz ausgenutzt sprich lim [mm] a_{n+1} [/mm] = a = lim [mm] a_{n}
[/mm]
1 [mm] \le [/mm] q (q hat ja den Grenzwert q) und dies ist unser Widerspruch, da 1 nicht kleiner als q sein kann aus den Voraussetzungen.
Jedoch nehme ich an, dass er nicht allgemeingültigkeit besitzt, weil es irgendwie zu einfach wäre.
Habe ich etwas übersehen?
Bei der b) Habe ich noch keinen tollen Ansatz gefunden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Di 01.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Für die Folgen [mm]a_{n}[/mm] n [mm]\in \N[/mm] gelte für n > [mm]n_{0}[/mm]
> :
>
> a) [mm]|a_{n+1}| \le q*|a_{n}|[/mm] mit 0 < q < 1.
>
> Zeigen sie, dass [mm]a_{n}[/mm] eine Nullfolge ist.
>
> b) [mm]|a_{n+1}| \ge q*|a_{n}|[/mm] mit q > 1 und [mm]a_{n_{0}} \not=[/mm] 0
>
> Zeigen sie, dass diese Folge divergent ist.
>
> q in beiden Fällen element R
>
> So zu meinen Ansätzen:
>
> a)
> Zunächst dachte ich daran einen Widerspruchsbeweis zu
> führen:
>
> Angenommen der Grenzwert von [mm]a_{n}[/mm] sei [mm]\not=[/mm] 0
>
> [mm]|a_{n+1}| \le q*|a_{n}|[/mm] (teile durch [mm]|a_{n}|[/mm] )
>
> <=> [mm]\bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} \le[/mm] q
>
> Jetzt Grenzwert gegen unendlich bilden:
> (Grenzwertsatz ausgenutzt sprich lim [mm]a_{n+1}[/mm] = a = lim
> [mm]a_{n}[/mm]
>
> 1 [mm]\le[/mm] q (q hat ja den Grenzwert q) und dies ist unser
> Widerspruch, da 1 nicht kleiner als q sein kann aus den
> Voraussetzungen.
>
> Jedoch nehme ich an, dass er nicht allgemeingültigkeit
> besitzt, weil es irgendwie zu einfach wäre.
>
> Habe ich etwas übersehen?
Ja, in Deinem obigen "Widerspruchsbeweis" gehst Du davon aus, dass [mm] (a_n) [/mm] konvergent ist. Woher weißt Du das ?
Tipp: zeige induktiv, dass [mm] $|a_n| \le q^{n-1}|a_1|$ [/mm] für jedes n in [mm] \IN [/mm] gilt
Was weißt Du über die Folge [mm] (q^{n-1}) [/mm] im Falle 0 < q < 1 ?
>
> Bei der b) Habe ich noch keinen tollen Ansatz gefunden.
Zeige induktiv: [mm] $|a_{n_0+k}| \ge q^k|a_{n_0}| [/mm] für jedes k in [mm] \IN.
[/mm]
Was weißt Du über die Folge [mm] (q^k) [/mm] im Falle q > 1 ?
FRED
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Mein Auftrag lautet ja gerade, dass ich zeigen soll, dass es Nullfolge ist. Also nehme ich in meinem Widerspruchsbeweis an, dass es Konvergent gegen a (ungleich 0) ist und führe das zum widerspruch.
Die konvergenz ist natürlich nur angenommen und keineswegs bewiesen.
"Was weißt Du über die Folge $ [mm] (q^{n-1}) [/mm] $ im Falle 0 < q < 1 ?"
Ich weiß, dass q gegen 0 geht, aber mir ist nicht klar, wieso du aus unserer Konstanten q einfach in abhängigkeit von n bringen darfst wo vorher keine war.
$ [mm] |a_n| \le q^{n-1}|a_1| [/mm] $
Mit dem Wort induktiv kann ich so nichts anfangen :/
Meinst du vollständinge Induktion?
[mm] a_1 [/mm] zu nehmen ist sinnvoll, da es unser oberstes Glied darstellt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Di 01.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Mein Auftrag lautet ja gerade,
Hallo Mister Bond
> dass ich zeigen soll, dass
> es Nullfolge ist. Also nehme ich in meinem
> Widerspruchsbeweis an, dass es Konvergent gegen a (ungleich
> 0) ist und führe das zum widerspruch.
Wenn Du einen Widerspruchsbeweis machen willst, so lautet die Annahme:
[mm] (a_n) [/mm] ist keine Nullfolge
und die ist gleichbedeutend mit:
( [mm] (a_n) [/mm] ist divergent ) oder ( [mm] (a_n) [/mm] ist konvergent, aber keine Nullfolge )
>
> Die konvergenz ist natürlich nur angenommen und keineswegs
> bewiesen.
Na also ! Den Fall [mm] "(a_n) [/mm] ist divergent" hast Du vergessen !!
>
> "Was weißt Du über die Folge [mm](q^{n-1})[/mm] im Falle 0 < q < 1
> ?"
>
> Ich weiß, dass q gegen 0 geht,
Nein, [mm] (q^n) [/mm] geht gegen 0 !!
> aber mir ist nicht klar,
> wieso du aus unserer Konstanten q einfach in abhängigkeit
> von n bringen darfst wo vorher keine war.
Mann: es ist [mm] $|a_2| \le q|a_1|$ [/mm] einverstanden ?
Dann folgt: [mm] $|a_3| \le q|a_2| \le q^2|a_1|$ [/mm] . Etc ... Ist es jetzt klar ?
>
> [mm]|a_n| \le q^{n-1}|a_1|[/mm]
>
> Mit dem Wort induktiv kann ich so nichts anfangen :/
> Meinst du vollständinge Induktion?
Ja
FRED
> [mm]a_1[/mm] zu nehmen ist sinnvoll, da es unser oberstes Glied
> darstellt.
>
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Okay ich habe das mit deiner Methode gelöst. Ich musste am Ende nur noch den lim von [mm] q^{n-1} [/mm] machen woraus folge, dass unsere folge an auch gegen 0 gehen muss, damit das erfüllt ist.
Aber prinzipiell:
Wenn Du einen Widerspruchsbeweis machen willst, so lautet die Annahme:
$ [mm] (a_n) [/mm] $ ist keine Nullfolge
und die ist gleichbedeutend mit:
( $ [mm] (a_n) [/mm] $ ist divergent ) oder ( $ [mm] (a_n) [/mm] $ ist konvergent, aber keine Nullfolge )
Wenn ich den Widerspruchsbeweis zu: $ [mm] (a_n) [/mm] $ ist konvergent, aber keine Nullfolge führe und der Widerspruch nicht an der Konvergenz scheitert sondern an der Nullfolge schließe ich doch daraus, dass unsere Folge konvergent gegen 0 läuft, und da ich gezeigt habe, dass es konvergent ist ist der Beweis zur divergenz doch hinfällig oder was ist hier falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Di 01.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Beweis benutzt doch, [mm] a_n [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] haben denselben GW.
wenn die UnGl. [mm] a_{n+1}/a_n
Gruss leduart
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Das die beiden folge(glieder) den selben Grenzwert haben ist doch definition, also kürzt sich beides raus
also formal ist es so definiert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n+1} [/mm] = a = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}
[/mm]
und das ist in meinem Fall:
[mm] \bruch{a}{a} \le [/mm] q ( 0 < q < 1)
Der einzige Fall, der links keine 1 stehen hat in diesem beispiel ist, wenn a = 0 ist sprich Nullfolge.
Deswegen frage ich mich ob dieser beweis nicht auch gänzlich legitim ist. Sicher bin ich mir da nicht, weil ich nicht so der durchblicker in mathe bin ;)
Vielen Dank aber für die ganzne tollen antworten schonmal
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 Di 01.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Das die beiden folge(glieder) den selben Grenzwert haben
> ist doch definition, also kürzt sich beides raus
>
>
> also formal ist es so definiert:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n+1}[/mm] = a =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm]
>
> und das ist in meinem Fall:
>
> [mm]\bruch{a}{a} \le[/mm] q ( 0 < q < 1)
>
> Der einzige Fall, der links keine 1 stehen hat in diesem
> beispiel ist, wenn a = 0 ist sprich Nullfolge.
>
> Deswegen frage ich mich ob dieser beweis nicht auch
> gänzlich legitim ist. Sicher bin ich mir da nicht, weil
> ich nicht so der durchblicker in mathe bin ;)
>
> Vielen Dank aber für die ganzne tollen antworten schonmal
Nochmal: Du sollst zeigen, dass [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge ist.
Wenn Du irgendwoher weißt, dass [mm] (a_n) [/mm] konvergiert, dann kannst Du so wie oben argumentieren, um zu zeigen, dass [mm] (a_n) [/mm] gegen 0 geht.
Das Problem ist aber, dass Du zunächst nicht weißt, dass [mm] (a_n) [/mm] konvergent ist.
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Di 01.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht hilft dieses Beispiel.
Gegeben sei die Folge [mm] (a_n) [/mm] mit [mm] a_1 [/mm] = 1 und (*) [mm] a_{n+1}= 2a_n
[/mm]
Wenn man nun so vorgeht wie Du und annimmt, [mm] (a_n) [/mm] sei konvergent und den Grenzwert mit a bezeichnet, so liefert (*): a= 0
Die Folge [mm] (a_n) [/mm] ist aber divergent (warum ?)
FRED
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[mm] a_{1} \not= [/mm] 0 und q > 1 => divergent mit dem beweis aus b)
Ok also ich dachte einfach, dass man konvergenz annehmen könnte im vorfeld und durch den beweis dann auch zeigt, dass es so sein muss es gültigkeit hat.
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