Widerstand Eisendraht < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eisendraht hat 1m Länge, auf der einen Seite den Durchmesser [mm] d_1=1mm [/mm] und auf der anderen Seite den Durchmesser [mm] d_2=0,25mm.
[/mm]
Berechne:
(a) Den Gesamtwiderstand des Drahtes.
(b) Wie viele Ladungsträger fließen während 12 Sekunden durch den Draht, wenn er an eine Spannungsquelle mit U=1V angeschlossen wird. |
Hallo,
zu (a) habe ich ein Problem. Hier erstmal meine Rechnung:
[mm] dR=\rho\cdot dx\cdot\frac{1}{A(x)} [/mm] und A(x) ist Kreisfläche, d.h. [mm] A(x)=r^{2}(x)\pi=\frac{\pi}{4}d^{2}(x).
[/mm]
[mm] d(0)=d_{1},\, d(L)=d_{2}\Rightarrow d(x)=d_{1}+\frac{d_{2}-d_{1}}{L}x.Dann [/mm] folgt:
[mm] R=\int_{0}^{L}dR=\int_{0}^{L}\rho\frac{dx}{A(x)}=\rho\frac{4}{\pi}\int_{0}^{L}\frac{dx}{(d_{1}+\frac{d_{2}-d_{1}}{L}x)^{2}}. [/mm] Zur Vereinfachung substituiere:
[mm] a:=d_{1},\, b:=\frac{d_{2}-d_{1}}{L}. [/mm] Es folgt:
[mm] R&=&\rho\frac{4}{\pi}\int_{0}^{L}(a+bx)^{-2}dx\\&=&\rho\frac{4}{\pi}\left[-\frac{1}{b}\cdot(a+bx)^{-1}\right]_{0}^{L}\\&=&\rho\frac{4}{\pi}\left[-\frac{1}{b}\cdot\left(\frac{1}{a+bL}-\frac{1}{a}\right)\right]\\&=&\rho\frac{4}{\pi}\left[-\frac{1}{b}\cdot\left(\frac{a-a+bL}{(a+bL)a}\right)\right]\\&=&\rho\frac{4}{\pi}\left[-\frac{L}{(d_{1}+d_{2}-d_{1})d_{1}}\right]\ \\&=&-\rho\frac{4}{\pi}\frac{L}{d_{1}d_{2}}.
[/mm]
Jetzt habe ich am Ende in der Formel noch ein Minus drin. Aber da muss etwas positives rauskommen. Habe ich mich irgendwo verrechnet? Oder muss ich einfach den Betrag nehmen?
Zu (b):
Leider weiß ich hier nicht, mit welcher Formel ich agieren muss. Kann mir jemand helfen?
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Hallo!
Du hast diese doch etwas langwierige Rechnung gut hinbekommen.
Aber schau mal hier:
[mm] $\rho\frac{4}{\pi}\left[-\frac{1}{b}\cdot\left(\green{\frac{1}{a+bL}-\frac{1}{a}}\right)\right]$
[/mm]
Es gilt sicherlich [mm] \frac{1}{a+bL}\red{<}\frac{1}{a} [/mm] , sodaß der farbige Term negativ und der gesamte Ausdruck positiv sein muß.
Der Fehler liegt darin, daß du anschließend Klammern vergißt:
[mm] \frac{1}{a+bL}-\frac{1}{a}=\frac{a-\red{(}a+bL\red{)}}{(a+bL)*a}
[/mm]
Zur zweiten Aufgabe: wenn du den Widerstand kennst, kannst du den Strom bei 1V berechnen. Mal ne dumme Frage an dich: Was genau ist denn Strom?
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> Der Fehler liegt darin, daß du anschließend Klammern
> vergißt:
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> [mm]\frac{1}{a+bL}-\frac{1}{a}=\frac{a-\red{(}a+bL\red{)}}{(a+bL)*a}[/mm]
Achja stimmt. Sowas übersieht man leicht.
> Zur zweiten Aufgabe: wenn du den Widerstand kennst, kannst
> du den Strom bei 1V berechnen. Mal ne dumme Frage an dich:
> Was genau ist denn Strom?
Okay. I=U/R und I=Q/t. Damit habe ich dann Q und kann die Anzahl berechnen durch [mm] Q=n\cdot e\LEftrightarrow [/mm] Q/e=n. Richtig so?
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Muss nicht vielmeht folgendes gelten:
I=qnvA, wobei q:=Ladung, n:=Ladungsträgerdichte, v:=Driftgeschwindigkeit, A:=Querschnittsfläche.
Und dann nach n umgestellt: [mm] \frac{I}{qvA}=n.
[/mm]
A wäre die entsprechende Kreisfläche des Drahtes, die veränderlich ist, also muss ich integrieren: [mm] A=\int_{0}^{L}d_{1}+\frac{d_{2}-d_{1}}{L}x\, [/mm] dx.
Für die Driftgeschwindigkeit käme ich auf:
v=1m/12s=1/12 [mm] ms^{-1}.
[/mm]
Ist diese Art der Rechnung nicht richtiger, weil vorher habe ich quasi nur die Ladungsträgerdichte in einem Punkt des Drahtes berechnet und nun berechne ich es über die ganze Fläche???
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Hallo!
Nein. I=qnvA ist zwar eine korrekte Formel, aber sie besagt letztendlich, wieviele Elektronen mit welcher Geschwindigkeit durch welche Fläche driften müssen, um einem bestimmten Strom zu entsprechen.
Dein Querschnitt ändert sich mit der Länge, und da der Strom ja über die gesamte Länge gleich ist, muß sich zwangsläufig die Geschwindigkeit entlang des Drahtes ebenfalls ändern. Und die Geschwindigkeit ist die Durchschnittsgeschwindigkeit eines einzelnen Elektrons. Allerdings wird das Elektron, das auf der einen Seite rein gesteckt wird, nicht nach 12s auf der anderen Seite raus kommen.
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Gut. Also ist in der Tat [mm] I=\frac{ne}{t} [/mm] nach n umgestellt die richtige Formel zur Berechnung der Ladungsträgerdichte?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:30 Mo 18.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja!
gruss leduart
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