Widerstand für Erder < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:36 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Maiko |
Hallo!
Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:
Im homogen angenommenen Erdreich (kappa = 0.011 S/m) befindet sich in der Tiefe a = 1.9 m ein kugelförmiger Erder mit dem Radius re = 14.0 cm.
Berechnen Sie den Übergangswiderstand R des Erders.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich war mir erstens unsicher, welcher Richtung ich den Strom geben sollte. Das kann man auch an der nachfolgenden Skizze sehen. Fließt der Strom nun von der Erdungskugel weiter nach unten, oder ist dieser nach oben gerichtet. Dies ist ja an sich wichtig, wenn man zu Lösung der Aufgabe das Spiegelungsprinzip nutzen will.
Hier ist meine Lösung. Es muss aber irgendetwas falsch sein, obwohl ich mir dachte, dass ich richtig vorgegangen bin. Kann mir jmd. sagen, wo der Fehler liegt?
Ich bin folgendermaßen vorgegangen:
Berechnung des Potentials mit dem Überlagerungssatz (nach Anwendung des Spiegelungsprinzips) an der Oberfläche des Erders.
Berechnung der Spannung durch Subtraktion des Potentials an der Oberfläche (=0) und des Potentials an der Oberfläche des Erders.
Berechnung des Widerstandes durch R=U/I.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:00 Mi 01.06.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Maiko
Ich weiss nicht genau wie ich vorgehen sollte. Ich wusste nicht, dass man das Spiegelungsprinzip so anwenden kann.(Ich kenn es nur aus der Elektrostatik) Was direkt auffällt, wenn a=re ist, ist dein Widerstand 0. was ja wohl sicher falsch ist.
Gruss leduart
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Hallo Maiko,
ich fürchte, du kannst das Spiegelungsprinzip hier nicht benutzen, denn dazu müsstest du annehmen, dass an der Erdoberfläche überall das Potential auf Erdniveau liegt. Ich denke aber, dass unmittelbar über dem Erder noch eine Abweichung davon vorhanden ist.
Die Richtung des Stromes ist egal.
Stell dir die den Erder umgebende Erde aufgebaut aus dünnen Kugelschichten der Dicke [mm] $\Delta [/mm] r$ vor. Dann sind innere und äußere Schalenfläche der einzelnen Teile fast gleich groß und du kannst die Formel
[mm]R_{einzelne Schicht}=\frac{\Delta r}{A_{Schicht}\kappa}[/mm]
verwenden, um den Widerstand einer Schicht zu bestimmen. Der Gesamtwiderstand ist dann die Summe aller Widerstände, weil die Schichten gewissermaßen in Reihe geschaltet sind.
Wenn du zu unendlich dünnen Schichten übergehst, wird aus der Summe ein Integral. Ich rechne es dir mal für einen unendlich tief platzierten Erder vor:
[mm]A_{Schicht}=4r^2\pi[/mm]; r ist der Abstand zum Erder-Mittelpunkt
[mm]R=\int_{0,14m}^{\infty}\frac{dr}{4r^2\pi\kappa}=[/mm]
[mm]=\frac{1}{4\pi\kappa}\int_{0,14m}^{\infty}\frac{1}{r^2}dr=[/mm]
[mm]=\frac{1}{4\pi\kappa}\left[-\frac{1}{r}\right]_{0,14m}^{\infty}=[/mm]
[mm]=7,2343\Omega m\ \cdot\ 7,1429\frac{1}{m}=51,67\Omega[/mm]
Der Erder geht aber nicht unendlich tief in die Erde sondern nur 1,9 Meter tief. Berechnet man das Integral mit 1,9m als Obergrenze erhält man [mm] 47,87$\Omega$ [/mm] als Widerstand.
Der tatsächliche Wert liegt nicht etwa dazwischen, wie man zunächst vermuten könnte, sondern er ist noch etwas größer als [mm] 51,67$\Omega$.
[/mm]
Für die exakte Rechnung müsstest mit Hilfe einer geometrischen Überlegung angeben, wie sich die Erdoberfläche auf die Obergrenze des Integrals auswirkt.
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Maiko |
Hallo Hugo.
Dein Ergebnis ist doch tatsächlich richtig 
Jetzt muss ich das ganze nur noch verstehen und ich hoffe, du hilfst mir dabei.
<ich fürchte, du kannst das Spiegelungsprinzip hier nicht benutzen, denn
<dazu müsstest du annehmen, dass an der Erdoberfläche überall das
<Potential auf Erdniveau liegt.
Wie meinst du das? Um das Spiegelungsprinzip anzuwenden, müsste die gesamte Erdoberfläche also das Potential = 0 haben?
<Ich denke aber, dass unmittelbar über dem
<Erder noch eine Abweichung davon vorhanden ist.
Warum denkst du das?
<Die Richtung des Stromes ist egal.
<Stell dir die den Erder umgebende Erde aufgebaut aus dünnen
<Kugelschichten der Dicke $ [mm] \Delta [/mm] r $ vor. Dann sind innere und äußere
<Schalenfläche der einzelnen Teile fast gleich groß und du kannst die
<Formel
<$ [mm] R_{einzelne Schicht}=\frac{\Delta r}{A_{Schicht}\kappa} [/mm] $
Die Vorstellung ist klar. Wie kommst du aber auf diese Formel?
Hast du die aus einer bekannten hergeleitet?
<verwenden, um den Widerstand einer Schicht zu bestimmen. Der
<Gesamtwiderstand ist dann die Summe aller Widerstände, weil die
<Schichten gewissermaßen in Reihe geschaltet sind.
Ok.
<Wenn du zu unendlich dünnen Schichten übergehst, wird aus der Summe
<ein Integral. Ich rechne es dir mal für einen unendlich tief platzierten
<Erder vor:
<$ [mm] A_{Schicht}=4r^2\pi [/mm] $; r ist der Abstand zum Erder-Mittelpunkt
<$ [mm] R=\int_{0,14m}^{\infty}\frac{dr}{4r^2\pi\kappa}= [/mm] $
<$ [mm] =\frac{1}{4\pi\kappa}\int_{0,14m}^{\infty}\frac{1}{r^2}dr= [/mm] $
<$ [mm] =\frac{1}{4\pi\kappa}\left[-\frac{1}{r}\right]_{0,14m}^{\infty}= [/mm] $
<$ [mm] =7,2343\Omega [/mm] m\ [mm] \cdot\ 7,1429\frac{1}{m}=51,67\Omega [/mm] $
Warum verwendest du als obere Grenze unendlich??
<Der Erder geht aber nicht unendlich tief in die Erde sondern nur 1,9 Meter
<tief. Berechnet man das Integral mit 1,9m als Obergrenze erhält man
<47,87$ [mm] \Omega [/mm] $ als Widerstand.
Warum ist denn dieser Wert falsch? Ich hätte auch mit der oberen Grenze 1,9 gerechnet?
<Der tatsächliche Wert liegt nicht etwa dazwischen, wie man zunächst
<vermuten könnte, sondern er ist noch etwas größer als 51,67$ [mm] \Omega [/mm] $.
Das kann ich leider auch nicht nachvollziehen!
Vielleicht kannst du ja auf meine Fragen antworten Hugo. Ich wäre für einfache, anschauliche Erklärungen dankbar, da ich mich noch nicht so lange mit diesem Sachverhalt beschäftige.
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:26 So 05.06.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Maiko> Hallo Hugo.
>
> Dein Ergebnis ist doch tatsächlich richtig
> Jetzt muss ich das ganze nur noch verstehen und ich hoffe,
> du hilfst mir dabei.
>
> <ich fürchte, du kannst das Spiegelungsprinzip hier nicht
> benutzen, denn
> <dazu müsstest du annehmen, dass an der Erdoberfläche
> überall das
> <Potential auf Erdniveau liegt.
>
> Wie meinst du das? Um das Spiegelungsprinzip anzuwenden,
> müsste die gesamte Erdoberfläche also das Potential = 0
> haben?
spiegeln kann man nur an Potential 0
> <Ich denke aber, dass unmittelbar über dem
> <Erder noch eine Abweichung davon vorhanden ist.
>
> Warum denkst du das?
Wei der erder das Potential ändert, wenn Strom fließt
>
> <Die Richtung des Stromes ist egal.
> <Stell dir die den Erder umgebende Erde aufgebaut aus
> dünnen
> <Kugelschichten der Dicke [mm]\Delta r[/mm] vor. Dann sind innere
> und äußere
> <Schalenfläche der einzelnen Teile fast gleich groß und du
> kannst die
> <Formel
> <[mm] R_{einzelne Schicht}=\frac{\Delta r}{A_{Schicht}\kappa}[/mm]
>
> Die Vorstellung ist klar. Wie kommst du aber auf diese
> Formel?
> Hast du die aus einer bekannten hergeleitet?
Allgemein gilt Leitfähigkeit L=A/l* [mm] \kappa [/mm] Damit R=1/L
> <verwenden, um den Widerstand einer Schicht zu bestimmen.
> Der
> <Gesamtwiderstand ist dann die Summe aller Widerstände,
> weil die
> <Schichten gewissermaßen in Reihe geschaltet sind.
>
> Ok.
>
> <Wenn du zu unendlich dünnen Schichten übergehst, wird aus
> der Summe
> <ein Integral. Ich rechne es dir mal für einen unendlich
> tief platzierten
> <Erder vor:
>
> <[mm] A_{Schicht}=4r^2\pi [/mm]; r ist der Abstand zum
> Erder-Mittelpunkt
> <[mm] R=\int_{0,14m}^{\infty}\frac{dr}{4r^2\pi\kappa}=[/mm]
> <[mm] =\frac{1}{4\pi\kappa}\int_{0,14m}^{\infty}\frac{1}{r^2}dr=[/mm]
>
> <[mm] =\frac{1}{4\pi\kappa}\left[-\frac{1}{r}\right]_{0,14m}^{\infty}=[/mm]
>
> <[mm] =7,2343\Omega m\ \cdot\ 7,1429\frac{1}{m}=51,67\Omega[/mm]
>
> Warum verwendest du als obere Grenze unendlich??
>
> <Der Erder geht aber nicht unendlich tief in die Erde
> sondern nur 1,9 Meter
> <tief. Berechnet man das Integral mit 1,9m als Obergrenze
> erhält man
> <47,87[mm] \Omega[/mm] als Widerstand.
>
> Warum ist denn dieser Wert falsch? Ich hätte auch mit der
> oberen Grenze 1,9 gerechnet?
Die Kugelschalen hören ja nicht an der Erdoberfläche plötzlich ganz auf, sondern nur die oberste Kuppe schaut raus. Wenn du dir die Erde erst mal eben vorstellst, und einen Kreis von etwa 2 oder 3m einzeichnest, siehst du, dass noch viel in die Erde fließen kann. in die andere Richtung sogar über 12000 km weit alsomindestens ne halbe Kugel bis praktisch unendlich!
>
> <Der tatsächliche Wert liegt nicht etwa dazwischen, wie man
> zunächst
> <vermuten könnte, sondern er ist noch etwas größer als
> 51,67[mm] \Omega [/mm].
>
> Das kann ich leider auch nicht nachvollziehen!
Die Kugeln sind nur ne gute Näherung, du könntest ja auch andere Körper drum rum legen, die sich mehr der erde "anpassen. nur kannst du dann nicht mehr so einfach rechnen.
Hugo hat so lange nicht geantwortet, ich hoffe, meine erklärung reicht die
Gruss leduart
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Hallo Maiko, Hallo Leduart.
Ich hab mich lange nicht gemeldet. Tschuldigung. Ich hab nur grad mit meiner Diplomarbeit zu tun. :-(
> Dein Ergebnis ist doch tatsächlich richtig
> Jetzt muss ich das ganze nur noch verstehen und ich hoffe,
> du hilfst mir dabei.
> Wie meinst du das? Um das Spiegelungsprinzip anzuwenden,
> müsste die gesamte Erdoberfläche also das Potential = 0
> haben?
Ja, genau. Leduart hat das ja auch schon gesagt.
> <Ich denke aber, dass unmittelbar über dem
> <Erder noch eine Abweichung davon vorhanden ist.
>
> Warum denkst du das?
Stell dir vor, es würde Wasser aus dem Erder laufen, das in alle Richtungen gleichermaßen durch die Erde fließen kann. Die Schwerkraft außer acht gelassen fließt das Wasser gleichmäßig von dem Erder weg, bis es auch die Erdoberfläche erreicht. Dort strömt es an der Oberfläche vom Erder weg, es muss also noch einen Unterschied zum Potential Null geben.
> Die Vorstellung ist klar. Wie kommst du aber auf diese
> Formel?
> Hast du die aus einer bekannten hergeleitet?
Sei [mm] \kappa [/mm] die spezifische Leitfähigkeit eines Materials.
Ein gerades Prisma der Grundfläche A und der Höhe [mm] \ell [/mm] dieses Materials hat den Widerstand
[mm]R=\frac{A}{\kappa\ell}[/mm]
Das benutzt man normalerweise bei Kabeln. Dann ist A die Querschnittsfläche und [mm] \ell [/mm] die Kabellänge.
> Warum verwendest du als obere Grenze unendlich??
Prinzipiell müsste ich irgendwas zwischen 5 und 500 Meter als Obergrenze nehmen, denn dann kommt bestimmt irgendwo eine nicht besonders leitfähige Erdschicht, aber das spielt keine so große Rolle. Wie Leduart schon gesagt hat, fließt der Strom theoretisch unendlich weit vom Erder weg und deshalb Obergrenze [mm] \infty
[/mm]
> <Der Erder geht aber nicht unendlich tief in die Erde
> sondern nur 1,9 Meter
> <tief. Berechnet man das Integral mit 1,9m als Obergrenze
> erhält man
> <47,87[mm] \Omega[/mm] als Widerstand.
>
> Warum ist denn dieser Wert falsch? Ich hätte auch mit der
> oberen Grenze 1,9 gerechnet?
Du vergisst, dass näherungsweise noch halbe Kugelschalen bis unendlich weitergehen.
> <Der tatsächliche Wert liegt nicht etwa dazwischen, wie man
> zunächst
> <vermuten könnte, sondern er ist noch etwas größer als
> 51,67[mm] \Omega [/mm].
>
> Das kann ich leider auch nicht nachvollziehen!
Macht nix.
Also du hast volle Kugelschalen von r=0,14m bis r=1,9m. Dann gibt es einen gewissen Übergangsbereich, den wir einfach ignorieren und für r>5m können wir in guter Näherung so tun, als wären aus den Vollkugelschalen Halbkugelschalen geworden, weil die obere Hälfte ja nicht mehr vorhanden ist.
Ich gebe zu, das ist nicht exakt, aber für einen Erdungswiderstand reicht die Genauigkeit allemal.
Halbschalen haben den doppelten Widerstand wie Vollschalen, denn eine komplette Kugelschale ist in etwa die Parallelschaltung zweier Halbschalen.
Für den Widerstand erhält man nun drei Vorgehensweisen.
[mm]R_{1}=\int_{0,14m}^{1,9m}\dots=48,87\Omega[/mm]
wenn du nur bis zur Oberfläche rechnest. Das wird jedoch umso falscher, je näher der Erder an der Erdoberfläche liegt.
Du kannst auch so tun, als gäbe es Kugelschalen bis in alle Ewigkeit. Dann bekommst du
[mm]R_{2}=\int_{0,14m}^{\infty}\dots=51,67\Omega[/mm]
Aber du musst berücksichtigen, dass die Kugelschalen irgendwann aus der Erdoberfläche austreten. Ich tue also so, als gäbe es für r>1,9m nur noch Halbschalen.
[mm]R_{3}=R_{min}+2\cdot\int_{1,9m}^{\infty}\frac{dr}{4r^2\pi\kappa}=55,48\Omega[/mm]
Das richtige Ergebnis liegt irgendwo zwischen [mm] R_2 [/mm] und [mm] R_3 [/mm] , denn in einem gewissen Bereich hat man weder Voll- noch Halbschalen.
Geht es jetzt besser?
Hugo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:33 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Maiko |
Danke erstmal für eure Antworten.
Ich muss mir das ganze nochmal durch den Kopf gehen lassen.
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