Wie beweisen? < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie:
[mm] (1+a)^n \ge [/mm] 1+na
gilt für alle n [mm] \in \IN_0, [/mm] a [mm] \in \IR, [/mm] a > -1 |
Hallo Leute!
Ich habe keine Ahnung wie ich diese Aufgabe beweisen soll.
Geht sowas auch mit vollständiger Induktion unter betracht verschiedener Fälle von a ?
Danke für Eure Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 Do 14.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo AnalysisKampfFlo!
"Vollständige Induktion" ist genau das richtige Stichwort. Und wegen der Einschränkung $a \ > \ -1$ brauchst Du auch gar keine Fallunterscheidung für $a_$ machen.
Gruß
Loddar
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Setze ich dann einfach a=0 ? Oder behalte ich das als Variable?
Ich meine, ich habe sonst immer nur 1 Unbekannte bei der V.I. gehabt. Zumindest kenne ich es nur so, wie gehe ich jetzt bei 2 Unbekannten vor?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Do 14.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo AnalysisKampfFlo!
Betrachte $a_$ wie eine Konstante.
Gruß
Loddar
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Ich habe es mal mit der Induktion versucht, aber da komme ich nicht weiter.
Hier mein Ansatz.
Induktionsanfang:
Für n=0 (weil [mm] \IN_0)
[/mm]
[mm] (1+a)^0 \ge [/mm] 1+0*a
[mm] 1\ge1
[/mm]
-> Gilt.
Induktionsvorraussetzung:
A(n) gilt:
[mm] (1+a)^n \ge [/mm] 1 + n*a
Indukstionsbehauptung:
A(n) gilt => A(n+1) muss auch gelten.
(1+a)^(n+1) [mm] \ge [/mm] 1+ (n+1)*a
Induktionsbeweis:
(1+a)^(n+1) = [mm] (1+a)^n [/mm] * (1+a)
*IV*:
[mm] \ge(1 [/mm] + n*a ) * (1+a)
Wenn ich das jetzt auflöse kommt nur mist bei raus.
a^2n usw. Ne idee?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Do 14.02.2008 | | Autor: | abakus |
Hallo AnalysisKampfFlo,
es geht viel einfacher. Multipliziere [mm] (1+a)^n [/mm] mit dem binomischen Satz aus und vergleiche deine ersten beiden Summanden mit 1+a*n.
Viele Grüße
Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 Do 14.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo AnalysisKampfFlo,
> es geht viel einfacher. Multipliziere [mm](1+a)^n[/mm] mit dem
> binomischen Satz aus und vergleiche deine ersten beiden
> Summanden mit 1+a*n.
> Viele Grüße
> Abakus
Nur wegen der Vollständigkeit (sicher geht Induktion auch ganz gut):
[mm](1+a)^n=1^n + \vektor{n \\ 1}1^{n-1}*a^1+ \vektor{n \\ 2}1^{n-2}*a^2+ ... =1 + n*a+ ...[/mm] (es folgen noch weitere Summanden, die alle positiv sind). Also ist die gesamte Summe aus [mm] (1+a)^n [/mm] größer als 1 + n*a.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:17 Fr 15.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Abakus,
> > Hallo AnalysisKampfFlo,
> > es geht viel einfacher. Multipliziere [mm](1+a)^n[/mm] mit dem
> > binomischen Satz aus und vergleiche deine ersten beiden
> > Summanden mit 1+a*n.
> > Viele Grüße
> > Abakus
>
> Nur wegen der Vollständigkeit (sicher geht Induktion auch
> ganz gut):
>
> [mm](1+a)^n=1^n + \vektor{n \\ 1}1^{n-1}*a^1+ \vektor{n \\ 2}1^{n-2}*a^2+ ... =1 + n*a+ ...[/mm]
> (es folgen noch weitere Summanden, die alle positiv sind).
überdenke diese Aussage nochmal. Oben wurde $a > -1$ gefordert. Im Falle $a [mm] \ge [/mm] 0$ greift Deine Argumentation (interessant ist ja hier sowieso nur der Fall $n [mm] \ge [/mm] 2$, die Fälle $n=0$ und $n=1$ sieht man schnell ein). Im Falle $-1 > a > 0$ muss man die Restsumme [mm] $\ge [/mm] 0$ abschätzen. Das ist dort keineswegs trivialerweise der Fall, denn dann sind nicht alle folgenden Summanden [mm] $\ge [/mm] 0$. Zum Beispiel tritt im Falle [mm] $a=-\frac{1}{2}$ [/mm] und $n [mm] \ge [/mm] 3$ der Summand
${n [mm] \choose [/mm] 3} [mm] 1^{n-3} *a^{3}=$ $\blue{-}$ $\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}*\frac{1}{8} [/mm] < 0$ auf.
Entweder muss man sich da was überlegen, warum für $-1 < a < 0$ dann
[mm] $\sum_{k=2}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] 1^{n-k} a^k=\sum_{k=2}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] a^k \ge [/mm] 0$
gilt, oder man erspart es sich doch und bleibt bei Induktion.
(Womit man die letzte Abschätzung [mm] $\sum_{k=2}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] a^k \ge [/mm] 0$ (für $a > -1$) als Ergebnis mitnehmen kann!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Do 14.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo AnalysisKampfFlo!
Na, ist doch wunderbar ... was erhältst Du nach dem Ausmultiplizieren?
[mm] $$(1+a)^{n+1} [/mm] \ = \ ... \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] 1+a+n*a+n*a^2 [/mm] \ = \ [mm] \blue{1+a*(n+1)} [/mm] + [mm] \red{n*a^2}$$
[/mm]
Das Blaue wollen wir ja genau erreichen. Und wie können wir das Rote mit [mm] $n*a^2$ [/mm] abschätzen?
Gruß
Loddar
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Ich habe keine Ahnung! :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Do 14.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Flo!
Der Term [mm] $n*a^2$ [/mm] besteht nur aus positiven Termen. Also ist auch [mm] $n*a^2$ [/mm] ... ?
Gruß
Loddar
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Positiv ?
Keine Ahnung, ich blicke das nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:35 Do 14.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Positiv ?
> Keine Ahnung, ich blicke das nicht.
Oh, Mist. Ich hatte übersehen, dass a>-1 gilt und a somit negativ sein kann. Da müsste ich natürlich noch zeigen, dass unter den restlichen Summanden die positiven überwiegen. Sorry.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:58 Fr 15.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Flo!
> Positiv ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Oder höchstens Null (wenn $a \ = \ 0$ ).
Es gilt also:
$$ [mm] (1+a)^{n+1} [/mm] \ = \ ... \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] 1+a\cdot{}(n+1) [/mm] + [mm] \underbrace{n\cdot{}a^2}_{\ge \ 0} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] 1+a\cdot{}(n+1)+0 [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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Wenn das jetzt aber [mm] \ge [/mm] 0 ist, dann kann es doch passieren, dass die rechte seite größer als die Linke ist, was nicht das gewünschte ergebnis liefert. Oder sehe ich das Falsch. Das ist der Grund der mir dabei Kopfschmerzen bereitet.
Hehe...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:51 Fr 15.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Flo!
Aber das ist doch das gewünschte Ergebnis, dass die linke Seite größer sein soll als die rechte. Denn schließlich wird es nach links durch [mm] $n*a^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ kleiner!
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:38 Fr 15.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
vll. zur Übersicht:
Im Induktionsschritt war zu zeigen:
[mm] $(1+a)^{n+1} \ge [/mm] 1+(n+1)*a$
Eure Rechnung (Deine + Loddars):
$ [mm] (1+a)^{n+1} [/mm] \ = [mm] (1+a)^n*\underbrace{(1+a)}_{> 0,\mbox{denn bea.: } a > -1 \Rightarrow (1+a) > 0}$ [/mm]
[mm] $\underbrace{\ge}_{\mbox{Ind.Vor. und } (1+a)>0} [/mm] (1+n*a)*(1+a) [mm] =1+a+n\cdot{}a+n\cdot{}a^2 [/mm] \ = \ [mm] \blue{1+a\cdot{}(n+1)} [/mm] + [mm] \underbrace{\red{n\cdot{}a^2}}_{\ge 0} \ge [/mm] 1+(n+1)*a$
Ende Gelände, Du bist an dieser Stelle fertig mit dem Induktionsbeweis 
Gruß,
Marcel
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