Wie hoch ist der Turm (8.Kl.Gy < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Ing. wollen die Höhe eines Turmes bestimmen.
Die Höhe ihres Winkelmeßgerätes ist 1,60 m.
Ihre waagerechte Entferng. zum Turm, bzw. Strecke zwisch. W.messer u. Turm = 65 m
Höhenwinkel von Spitze ihres Meßgerätes bis zur Spitze des Turmes = 30 Grad.
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Ich habe wie folgt gerechnet
u. hätte dazu gern 2 Fragen beantw.
a) ist mein Ergebnis richtig u.
b) Gibt es auch noch eine theoretische/rechnerische Lösung und zwar -jetzt kommts- OHNE die Winkelfunktionen anzuwenden?
alpha = 30
beta = 90
yamma = 60
65 m mit dem Maßstab 1:1000 umgerechnet in 6,5 cm
Und diese Linie gezeichnet. Es ist die Strecke AB.
Höhenwinkel 30 Grad li abgetrag.
Irgendwann treffen sich a u. b
Dann gemessen von B nach C; es sind bei mir 3,8 cm geworden
(mm-Abweichungen seien bitte verziehen)
Die 3,8 cm mit dem gleichen Maßstab wieder zur.gerechnet = 38 m
Und abschließlich die Höhe des Meßgerätes dazu addiert = 39,60 m
a) ist das richtig?
b) welche andere Lösung gibt es noch, außer mit Winkelfkt.?
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> Ing. wollen die Höhe eines Turmes bestimmen.
> Die Höhe ihres Winkelmeßgerätes ist 1,60 m.
> Ihre waagerechte Entferng. zum Turm, bzw. Strecke zwisch.
> W.messer u. Turm = 65 m
> Höhenwinkel von Spitze ihres Meßgerätes bis zur Spitze des
> Turmes = 30 Grad.
>
> Ich habe wie folgt gerechnet
> u. hätte dazu gern 2 Fragen beantw.
> a) ist mein Ergebnis richtig u.
Hallo,
ja, das ist die Lösung der Klasse 8, welche letztendlich auf WSW beruht. Dieser Kongruenzsatz garantiert, daß keine andere Turmhöhe infrage kommt als die so konstruierte.
Du mußt allerdings zu Deinem Ergebnis noch die 1.60m hinzurechnen, wenn Du die Gesamthöhe des Turmes wissen möchtest.
Die Lösung der Kl. 10 wäre mit Winkelfunktionen.
> b) Gibt es auch noch eine theoretische/rechnerische Lösung
> und zwar -jetzt kommts- OHNE die Winkelfunktionen
> anzuwenden?
In diesem speziellen Fall: ja.
Berechne dazu erstmal die Höhe in einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a.
Nun überlege Dir, was dieses Dreieck mit der Situation Deiner Aufgabe zu tun hat.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Giraffe |
Ach herrje, an die Kongr.-Sätze habe ich nun gar nicht gedacht. Die bringe ich auch allg. noch nicht mit all meinen bisherigen Dreiecks-Rechnereien in Verbindung. Wie gut, dass du das angesprochen hast.
Für die Aufg. wird der Kongr.-Satz WSW benutzt: 30 Grad, 64 m, 90 Grad.
So, ein gleichseitiges konstruiert u. es folg. Überlegungen:
- alle Winkelhalbierenden gehen durch den Mittelpkt.
- weil gleichseitig, trifft jede Winkelhalbierende genau die Mitte einer Seite
- u. damit ist die Winkelhalb. = h
- Jetzt konzentriere ich mich auf nur eine Hälfte des gleichseitigen Dreiecks u. sehe:
- h entspricht meinem Turm (nicht in echt, aber modellhaft)
- u. statt 30 Grad (Aufg.) sind hier 60 Grad.
Bislang sehe ich also 30 Grad, 90 Grad u. h, also WWS
Aber da du von WSW sprachst
errechne ich den dritten Winkel = 30 Grad
Nun die Frage, was soll all das mit der Aufg. zu tun haben?
Hier habe ich am längsten überlegen müssen.
Ich halbiere in dem halben gleichseitigen Dreieck den 60 Grad-Winkel, dann ist es deckgs.gleich mit dem in der Aufg. (Höhenwinkel = 30).
Diese Winkelhalbierende trifft "irgendwo" auf h
u. ich erkenne meine Aufg. wieder.
War es das, was du meintest?
Würde mich freuen, wenn ja.
Aber auch nicht wundern, wenn nein.
LG
Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 Mo 22.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast mit der Entfernung , der Turmhoehe ueber den 1,6m und dem [mm] 30^o [/mm] Winkel ein halbes gleichseitiges Dreieck.
das heisst die Turmhoehe ist die haelfte der Seite.
Nur wenn ihr schon den Pythagoras gehabt habt kannst du , aus der Hoehe die Seitenlaenge ausrechnen. sonst musst du halt abmessen, wenns genauer werden soll musst du halt einen groesseren massstab waehlen z. Bsp alles doppelt so gross malen wie dus gemacht hast.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Giraffe |
Phytagoras geht doch gar nicht; ich habe doch nur eine gegeb. Seite, nämlich die, die auf den Turm zuläuft. Und den Höhenwinkel. Schluss, aus.
Oder mal blöd gefragt, ich dachte bislang, Frau Phytgora geht immer nur, wenn 2 Größen gegeben sind.
Falls es doch geht, würde mich das sehr freuen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Mo 22.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast doch ein halbes gleichseitiges Dreieck, deshalb ist die Turmhoehe halb so gross wie die lange Seite, also hast du gegeben s,s/2, h=64m.
also [mm] s^2=... [/mm] Kannst dus ? Dann nach s aufloesen dann kannst du s aus h ausrechnen!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Giraffe |
ja, mensch,
ich weiß nicht, ob ich das habe, was du meinst.
Aber, wenn dann ist es super!
Aber es muss das sein:
Der Versuch es zu beschreiben, führt leider nicht zu der Erleuchtung, die ich eben hatte. Ich habe heute jetzt mehr als 8 Std. Mathe hinter mir. Aber ich bin mir sicher, dass ich morgen bei erneutem Hinsehen (es muss nämlich die Seite sein, die sich halbiert, nicht die Höhe). Ich muss jetzt einfach schluss machen u. mich jetzt 10 Std. erholen.
Phytagora soll also doch gehen, das merke ich mir. (Gleichungen umstellen, no probl.)
Erstmal ganz vielen DANK - für die mega super Ergänzung in dieser Aufg.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Giraffe |
gleichschenkliges Dreieck
>das heisst die Turmhoehe ist die haelfte der Seite.
Die "Turmhöhe" (Winkelhalb.) des gleichschenkligen Dreiecks ist nicht die Hälfte der Seite, wie du schreibst.
h ist nicht genauso lang wie eine Seite.
h ist in einem gleichseitigen D. immer kürzer als eine Seite.
Oder wie war das gemeint?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Mo 22.09.2008 | | Autor: | chrisno |
Noch einmal von vorne:
Der Winkel zwischen der Horizontalen und Verbindung Messgerät -Turmspitze beträgt 30°. Der Winkel zwischen Horizontalen und Turm beträgt 90°. Bleiben oben 60°.
Nun lassen wir die 1,60 mal weg, das kann man später immer noch dazu addieren.
Nun wird der Turm an der Horizontalen gespiegelt, so dass seine Spitze in der Erde verschwindet. Die Verbindungen Turmspitze-Messinstrument und gespiegelte Turmspitze-Messinstrument bilden nun beim Messinstrument einen Winkel von 60°. Siehst Du nun das gleichseitige Dreieck?
Bekannt ist in diesem Dreieck die Höhe, nämlich h = 65 m.
Nenn die Seitenlänge des Dreiecks a.
Dann haben die Seiten
Turmspitze-Messinstrument,
gespiegelte Turmspitze-Messinstrument und
Tumspitze-gespiegelte Turmspitze
alle die Länge a.
bei der letzen Seite ist der Abstand Fuß des Turms bis zur Spitze also a/2.
Nachdem wir dieses a/2 haben, können wir den gespiegelten Turm wieder vergessen. Nun haben wir ein rechtwinkliges Dreieck mit h, a/2 und a als Seitenlängen. h ist bekannt, a oder vielmehr a/2 gesucht.
Nun aber kommt Freund Pythagoras zum Zug. Das schreibst aber Du nun hin.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:03 Mi 24.09.2008 | | Autor: | Giraffe |
Hallo chrisno, Hallo GGerd, Hallo leduart,
Chrisno schreibt: "noch einmal von vorne", ja, das ist gut.
Der Satz. "Der Turm an der Horizontalen gespiegelt, sodass seine Spitze in der Erde verschwindet."
Der isses: Jaaaa, jetzt sehe ich DAS gleichseitige Dreieck.
Zur Verständig. lege ich jetzt fest:
h = Horizontale = 65 m
s = Strecke (Meßgerät bis Turmspitze)
t = Turmhöhe
Dann ist die Seitenlänge des Dreiecks: s = 2 * t
Nichts anderes haben alle anderen die ganze Zeit auch gesagt, nur mit anderen Buchstaben-Bezeichng.
Der Satz "Nachdem wir das haben können wir den gespiegelten Turm wieder vergessen," ist auch super wichtig, sonst sieht man als Nicht-Profi, den Dreiecks-Wald vor lauten Dreiecken nicht mehr.
Und leduart meinte die ganze Zeit dasselbe, er war nur mit Worten sparsamer.
Geholfen hat mir letztendlich die Reduzierung von einem selbst konstruierten gleichseitigen Dreieck auf das Dreieck aus der Aufg., das nur gespiegelt wird. Muss man jetzt aber nicht verstehen. Ich weiß es ist keine Reduzierung, sondern dasselbe. Das ist auch noch was, was mich interessiert: Wie tickt das Gehirn denn da.
Phytagoras: h q + t q = s q
Dann nach t umstellen.
Ich beherrsche die Regeln von Lösungen für Gleichungen ziemlich sehr gut, aber ich bin ein Meister im Schlunzen, z.B.
nach t umstellen ist falsch, es MUSS heißen: nach t q umstellen.
Rest ist klar. Ergenis: t = 37,5277.....m
Alles, was drumherum zu 30° H = 0,577 D, 45° H = 1,000 D, 60° H = 1,732 D schreibst, schaue ich mir später an.
>Schätze jedenfalls öfter beim Wandern & Bergsteigen
Das ist lustig. Praktische Beispiele u. Anwendg. im Alltag immer saugut.
Aber, jetzt muss ich erstmal die nächsten Pflichtaufg. erledigen. Kann aber schon sein, dass ich es genau da schon brauche.
Ganz vielen vielen DANK dir u. allen anderen, die alle den gleichen Lösgs.weg anvisiert ODER verfolgt hatten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Mo 22.09.2008 | | Autor: | GGerst |
Dein Konstruktions- bzw. Rechengang ist ok, aber das Ergebnis ungenau. Nimm den Tangens des Höhenwinkels, mal 65 = 37,53m gerundet - statt Deiner 38m. Letzlich also H = 39,13m.
Ein anderer Weg dürfte nicht existieren. LG,
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 Mo 22.09.2008 | | Autor: | GGerst |
Zu meiner Antwort vor einigen Minuten noch ein Nachtrag: eine rechnerische Lösung ohne Winkelfunktion gibts (über Wurzel3), doch läuft's aufs selbe hinaus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:49 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Giraffe |
doch u. das ist GENIAL:
(frag die Angela)
nämlich mit Hilfe eines gleichseitigen Dreiecks.
Lies den Threat.
Aber das geht auch nur, weil der Höhenwinkel in der Aufg. 30 Grad ist.
Bei < 30 oder > 30 wäre es nicht gegangen.
(weil ein Winkel in einem gleichseitigen Dreieck immer 60 Grad beträgt).
Ich hoffe sehr, dass ich jetzt nicht klugscheisse. Aber ich glaub es paßt perfekto.
Hm, jetzt zöger ich doch, denn:
Damit kann ich zwar alle Winkel komplett bestimmen, aber es hilft mir nicht weiter, um an die Turmhöhe zu kommen, jedenfalls nicht ohne die Winkelfunkt.
Wozu dann das ganze?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:40 Di 23.09.2008 | | Autor: | GGerst |
«...Aber das geht auch nur, weil der Höhenwinkel in der Aufg. 30 Grad ist.
Bei < 30 oder > 30 wäre es nicht gegangen. (weil ein Winkel in einem GLEICHseitigen Dreieck immer 60 Grad beträgt) ...»
Das stimmt haargenau - ganz klar wird's, wenn man sich RECHTwinklige Dreiecke vorstellt. Für 30° und 60° Höhenwinkel ist die Lösung [mm] \wurzel{1/3} [/mm] bzw. [mm] \wurzel{3} [/mm] (was ich gestern nur angedeutet habe, um dir den Weg nicht gleich zu verraten 
Bei 45° ist die Höhendifferenz H natürlich gleich der horizontalen Distanz D. Zwischenwerte gehen zwar nicht ohne Winkelfunktion, aber SCHÄTZEN kann man sie doch ganz gut. Denn:
30° H = 0,577 D
45° H = 1,000 D
60° H = 1,732 D
Na - was würdest Du da für übliche 10° oder 15° (z.B. Kirchturm, oder Nachbargipfel im Gebirge) schätzen? Ich bin sicher, mit Gespür kommst Du auf ein paar Prozent hin!
Was wohl ein bißchen deine letzte Frage «Wozu dann das ganze?» beantworten kann. Ich mach soolche Schätzungen jedenfalls öfter beim Wandern & Bergsteigen - als Gehirntraining und zum Spaß (+dann am Gipfel in Landkarte nachschauen...  )
LG, und auch Dir Spaß dabei wünscht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:55 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Giraffe |
hi,
danke,
die Winkelfkt. wollte ich ja gerade nicht,
ABER:
da ich mit meinem TR nicht umgehen kann u. nicht weiß, wann ich INV oder Shift klicken muss, werde ich es mit den v. dir angegb. Zahlen durch probieren schaffen.
Thanks!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 Mo 22.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du den Pythagoras mal auf das Dreieck s/2, s, h angewendet? dann musst du eigentlich rauskriegen dass [mm] s/2=h/\wurzel{3} [/mm] ist. und h kennst du und s/2 ist die Turmhoehe! und ja, das geht nur wenn ein winkel [mm] 90^o [/mm] und einer 30 oder 60 ist.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:52 Di 23.09.2008 | | Autor: | GGerst |
Ich versteh gut, dass es ohne Winkelfkt. schöner wäre (ging mir in der Schule auch so).
ABER:
«da ich mit meinem TR nicht umgehen kann u. nicht weiß, wann ich INV oder Shift klicken muss, werde ich es mit den v. dir angegb. Zahlen durch probieren schaffen.»
Danke, das freut mich
Noch ein kl.Tipp zum TR-probieren: meist kann man sie auf Grad (°) oder Bogenmaß (arc) einstellen. Bevor ich was rechne, schaue ich immer, was bei TAN (45) oder INV.TAN (1) herauskommt --> bei Grad ist TAN(45°) = 1. Ich kannte nervöse Schüler, die deswegen eine unnötige 5 geschrieben haben und doch tolle Chefs geworden sind. LG,
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