Wie kommt man auf e ? < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es soll sein x<y und x,y [mm] \in \IR
[/mm]
a) Finde auf 3 Komma-Stellen Zahlenpaare (x/y), so dass gilt [mm] x^{y}=y^{x}
[/mm]
b) Welches ist die größtmögliche Zahl für x ? |
a) Das "berühmteste" Paar ist wohl (2 / 4), da [mm] 2^{4}=4^{2} [/mm] (gleich 16)
Andere Paare wären zum Beispiel:
(1.1 / 43.558)
(1.5 / 7.409)
(1.624 / 6)
(2.478 / 3)
(2.7 / 2.737)
b) Das Paar (2.7 / 2.737) zeigt, dass nun bald die "Grenze" x=y erreicht ist. Das erinnert mich irgendwie an die Zahl e=2.71828183...
Aber warum ist das so? Sind das nur "Indizien"?
Oder kann man das auch "beweisen"? (Ich hasse Beweise, weil man damit lediglich etwas tut, was schon Millionen andere vor einem getan haben)
Also: Wenn man [mm] x^{y}=y^{x} [/mm] nach y auflöst, und von dieser neuen Funktion die 1. Ableitung bildet, und diese NULL setzt, dann muss da die Zahl e rauskommen.
Dass die Ableitung von [mm] e^{x} [/mm] ebenfalls [mm] e^{x} [/mm] ist, das ist in diesem Zusammenhang dann wohl - ääähm - kein Zufall, weil es in der Mathematik keine Zufälle gibt, aber "bewiesen" ist dadurch auch noch nicht, dass bei Aufgabe b) die Zahl e rauskommt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:42 Sa 17.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Es soll sein x<y und x,y [mm]\in \IR[/mm]
>
> a) Finde auf 3 Komma-Stellen Zahlenpaare (x/y), so dass
> gilt [mm]x^{y}=y^{x}[/mm]
>
> b) Welches ist die größtmögliche Zahl für x ?
> a) Das "berühmteste" Paar ist wohl (2 / 4), da [mm]2^{4}=4^{2}[/mm]
> (gleich 16)
>
> Andere Paare wären zum Beispiel:
> (1.1 / 43.558)
> (1.5 / 7.409)
> (1.624 / 6)
> (2.478 / 3)
> (2.7 / 2.737)
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
>
> b) Das Paar (2.7 / 2.737) zeigt, dass nun bald die "Grenze"
> x=y erreicht ist. Das erinnert mich irgendwie an die Zahl
> e=2.71828183...
Das kann Zufall sein.
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> Aber warum ist das so? Sind das nur "Indizien"?
Yep, das sind tatsächlich nur Indizien.
> Oder kann man das auch "beweisen"? (Ich hasse Beweise, weil
> man damit lediglich etwas tut, was schon Millionen andere
> vor einem getan haben)
Naja, das würde ich so nicht sagen. Am Anfang stand meistens einer, der dien richtigen Gedanken hatte.
>
> Also: Wenn man [mm]x^{y}=y^{x}[/mm] nach y auflöst, und von dieser
> neuen Funktion die 1. Ableitung bildet, und diese NULL
> setzt, dann muss da die Zahl e rauskommen.
Das sollte so sein.
>
> Dass die Ableitung von [mm]e^{x}[/mm] ebenfalls [mm]e^{x}[/mm] ist, das ist
> in diesem Zusammenhang dann wohl - ääähm - kein Zufall,
> weil es in der Mathematik keine Zufälle gibt, aber
> "bewiesen" ist dadurch auch noch nicht, dass bei Aufgabe b)
> die Zahl e rauskommt.
Korrekt. Die Ableitung von [mm] f(x)=a^{x} [/mm] ist [mm] f'(x)=\bruch{a^{x}}{\ln(a)} [/mm] und bei a=e kommt dann halt [mm] f'(x)=e^{x} [/mm] heraus.
Aber wie hast du denn [mm] x^{y}=y^{x} [/mm] nach y aufgelöst?
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 Sa 17.05.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> Das kann Zufall sein.
Irgendwie würde mich so etwas beruhigen, obwohl ich mir vorstellen kann, dass "echte Mathematiker" eher von Zufällen beunruhigt sind.
Ansonsten könnte man festlegen, auf jegliche Form von "Beweis" zu verzichten und stattdessen zu sagen:
Wenn etwas 100 Mal so ist, dann ist es immer so
(Also: wenn man 100 rechteckige Dreiecke zeichnet, und die Summe der Katheten-Quadrate gleich dem Hypothenusen-Quadrat ist, dann ist das bei allen zukünftigen Dreiecken, die man zeichnet, auch so. Weil: es kann keine 100 Zufälle geben)
> > Aber warum ist das so? Sind das nur "Indizien"?
>
> Yep, das sind tatsächlich nur Indizien.
Bis zu wie vielen Stellen nach dem Komma müsste man das ausprobieren, bis man sagen kann: Das kann kein Zufall (nur Indizien) sein?
> Naja, das würde ich so nicht sagen. Am Anfang stand
> meistens einer, der den richtigen Gedanken hatte.
Also: entweder "Beweis" oder "Widerlegen der These" - damit die liebe Seele endlich Ruhe hat.
> Aber wie hast du denn [mm]x^{y}=y^{x}[/mm] nach y aufgelöst?
Das habe ich nicht aufgelöst.
Ich hatte nur gemeint: Wenn man es nach y auflösen kann, dann muss man als nächstes so und so verfahren. Und dann könnte man das Ganze eventuell doch noch "beweisen"
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Sa 17.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo rabilein
Ich find deine "Entdeckung" lustig, und deine "Indizien" zeigen auch das richtige!
[mm] x^y=y^x
[/mm]
y*lnx=x*lny
[mm] \bruch{lnx}{x}=\bruch{lny}{y}
[/mm]
wir suchen also wo die fkt [mm] f(x)=\bruch{lnx}{x} [/mm] an verschiedenen Stellen dieselben Werte hat. D.h. wo sie 2 Schnittstellen mit einer Parallelen zur x-Achse hat. das sind dann die Werte x und y!
ich hab dir die fkt aufgezeichnet, die Ableitung ist [mm] f'=(1-lnx)/x^2 [/mm] hat ihre Nullstelle also bei x=e oberhalb des Max. gibts aber keine Schnittstellen, unterhalb 2 für x>1 und eine für x<1.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Schön nich?
danke für den netten Beitrag.
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 Sa 17.05.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> Ich find deine "Entdeckung" lustig, und deine "Indizien"
> zeigen auch das richtige!
Ja, es war wirklich eine zufällige Entdeckung. Ursprünglich hatte ich nach etwas ganz anderem gesucht.
So ungefähr, wie du es gezeigt hast, hatte ich mir vorgestellt, dass es einen solchen Lösungsweg geben könnte. Es war nur so ein Bauchgefühl - und eventuell ein weiteres "Indiz" dafür, dass es in der Mathematik keine Zufälle gibt.
Allerdings hätte ich es irgendwie (ganz unmathematisch) "geil" gefunden, wenn die gesuchte Zahl, so etwa ein Zehntausendstel neben der Zahl e gelegen hätte.
Aber so ein "Knapp vorbei ist auch daneben" gibt es wohl nicht in der Mathematik - sondern nur im realen Leben.
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