Wie prüfe ich, ob zwei Ebenen parallel sind? < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:21 Sa 15.05.2004 | | Autor: | Torsten |
Hallo!
Folgende Aufgabe überfordert mich, da ich nicht weiss, wie man zwei Ebenen auf ihre Parallelität hin überprüft.
Gegeben seien die beiden Ebenen
E1:x= [mm] \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix}+\beta \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}+\gamma \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm]
E2:x= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \Gamma \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} +\phi \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] .
a)Zeigen Sie, dass die beiden Ebenen parallel sind.
Ich wäre echt dankbar wenn jemand die Aufgabe kurz lösen könnte, dürfte für einen Profi wohl kein Problem sein.
Danke im Vorraus und Gruss,
Torsten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Sa 15.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Torsten,
willkommen im MatheRaum! 
> Folgende Aufgabe überfordert mich, da ich nicht weiss, wie
> man zwei Ebenen auf ihre Parallelität hin überprüft.
>
> Gegeben seien die beiden Ebenen
> E1:x= [mm] \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix}+\beta \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}+\gamma \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm]
>
> E2:x= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \Gamma \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} +\phi \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] .
>
>
> a)Zeigen Sie, dass die beiden Ebenen parallel sind.
Kennst du den Begriff der linearen Abhängigkeit (von Vektoren)?
Damit kannst du das Gewünschte ganz einfach zeigen:
Seien [mm] $\vec{u}_1,\vec{u}_2$ [/mm] die Richtungsvektoren der Ebene [mm] $E_1$ [/mm] und
[mm] $\vec{v}_1,\vec{v}_2$ [/mm] die Richtungsvektoren der Ebene [mm] $E_2$.
[/mm]
Die Ebenen [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] sind parallel [mm] $\gdw$ $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{v}_1$ [/mm] linear abhängig und [mm] $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{v}_2$ [/mm] linear abhängig.
Wenn du nun noch unterscheiden willst, ob [mm] E_1 [/mm] echt parallel zu [mm] E_2 [/mm] ist (und nicht identisch), machst du eine Punktprobe:
Teste, ob der Stützpunkt einer Ebene in der anderen enthalten ist: Falls ja, dann ist [mm] $E_1=E_2$, [/mm] falls nicht, dann ist [mm] $E_1\parallel E_2$.
[/mm]
Schreib' uns doch mal deine Ergebnisse deines Linear-Unabhängigkeitstests (oder weitere Fragen)
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Sa 15.05.2004 | | Autor: | Torsten |
Hallo!
Lineare Abhängigkeit sagt mir was, bedeutet ja, dass ein Vektor ein Vielfaches des Anderen ist, oder?
Wie prüfe ich 3 Vektoren auf lineare Abhängigkeit?
Gruss , Torsten
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Sa 15.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Torsten!
> Lineare Abhängigkeit sagt mir was, bedeutet ja, dass ein
> Vektor ein Vielfaches des Anderen ist, oder?
Ja, für zwei Vektoren ist die lineare Abhängigkeit gleichbedeutend damit.
> Wie prüfe ich 3 Vektoren auf lineare Abhängigkeit?
Allgemein heißen n Vektoren [mm] $\vec u_1,\vec u_2,\ldots,\vec u_n$ [/mm] linear abhängig, wenn du einen dieser Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen kannst.
Schöner ist aber dieses Kriterium [mm] $\vec u_1,\vec u_2,\ldots,\vec u_n$ [/mm] linear abhängig, wenn es für folgende Vektorgleichung (=Gleichungssystem, wenn du komponentenweise Gleichungen aufstellst) eine weitere Lösung (neben der trivialen [mm] $\lambda_1=\lambda_2=\ldots=\lambda_n=0$) [/mm] gibt:
[mm] $\vec{0}=\lambda_1*\vec u_1+\lambda_2*\vec u_2+\ldots+\lambda_n*\vec u_n$
[/mm]
Für drei Vektoren:
[mm] $\vec{0}=\lambda_1*\vec u_1+\lambda_2*\vec u_2+\lambda_3*\vec u_3$
[/mm]
Kommst du mit diesen Infos weiter? Falls nicht, frag' einfach nach.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Sa 15.05.2004 | | Autor: | Torsten |
Hi!
Also setzte ich meine Bekannten Vektoren in diese Gleichung ein.
[mm] $\vec{0}=\lambda_1*\vec u_1+\lambda_2*\vec u_2+\lambda_3*\vec u_3$ [/mm]
Diese Gleichung muss ich dann 2 mal aufstellen oder?
1: u1 nehme ich aus Ebene 1---> Erster Ortsvektor
u2 und u3 aus Ebene 2
2: u1 aus Ebene 1 ----> Zweiter Ortsvektor
u2 und u3 aus Ebene 2
Und wie löse ich das ganze dann auf?
Gibt es einen Weg die Sache ohne die Linearkombination zu lösen ? Hab bisher noch nicht davon gehört.
Gruss, Torsten
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 Sa 15.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Torsten,
> Also setzte ich meine Bekannten Vektoren in diese Gleichung
> ein.
>
>
> [mm] $\vec{0}=\lambda_1*\vec u_1+\lambda_2*\vec [/mm]
> [mm] u_2+\lambda_3*\vec u_3$ [/mm]
>
> Diese Gleichung muss ich dann 2 mal aufstellen oder?
Genau.
> 1: u1 nehme ich aus Ebene 1---> Erster Ortsvektor
Du meinst "Richtungsvektor" hier, oder? Ortsvektor ist ein viel allgemeinerer Begriff.
Eine Ebene hat eine Stützvektor und zwei Richtungsvektoren.
> u2 und u3 aus Ebene 2
Ja, gut, wenn du hier die beiden Richtungsvektoren der Ebene 2 meinst. Ich würde sie lieber [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] nennen.
> 2: u1 aus Ebene 1 ----> Zweiter Ortsvektor
dito.
> u2 und u3 aus Ebene 2
dito.
> Und wie löse ich das ganze dann auf?
Das ergibt ein lineare Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen. Das habt Ihr hundertprozentzig schon durchgenommen.
> Gibt es einen Weg die Sache ohne die Linearkombination zu
> lösen ? Hab bisher noch nicht davon gehört.
Du könntest das Gleichungssystem oben mit einer Determinante (wenn Ihr die schon hattet) lösen, es gilt nämlich:
[mm] $\det (\vec{a},\vec{b},\vec{c})=0\ \gdw\ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$ [/mm] linear abhängig.
Mit [mm] $\det(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ [/mm] meine ich diese Determinante: [mm] \begin{vmatrix}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3\end{vmatrix} [/mm] also die Komponenten der drei Vektoren in die Spalten der Matrix geschrieben.
Hattet Ihr Determinanten denn schon?
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:13 So 16.05.2004 | | Autor: | Torsten |
Hallo!
Ja , ich meinte Richtungsvektor hab mich vertüdelt
Mit Determinaten sind wir am Dienstag angefangen. Denke mal das mein Pauker das mit der Methode haben will.
Den Schnittpunkt einer Graden mit einer Ebene haben wir damit Berechnet. Habs auch schon vor meiner Internetsuche damit probiert, kriege aber nix raus.
Wie wende ich die Determinante bei 2 Ebenen an? Dein Ansatz war ja nicht alles oder?
Gruss Torsten
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:25 So 16.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Torsten!
> Mit Determinaten sind wir am Dienstag angefangen. Denke
> mal das mein Pauker das mit der Methode haben will.
Das liegt dann nahe, obwohl dies
>
> Den Schnittpunkt einer Graden mit einer Ebene haben wir
> damit Berechnet. Habs auch schon vor meiner Internetsuche
> damit probiert, kriege aber nix raus.
>
> Wie wende ich die Determinante bei 2 Ebenen an? Dein Ansatz
> war ja nicht alles oder?
Nein, du müßtest dann dann folgendes untersuchen:
[mm] $E_1 \parallel E_2\ \gdw [/mm] $ [mm]\begin{vmatrix}
2 & 0 & 2 \\
4 & 1 & 5 \\
-1 & 3 & 2\end{vmatrix}=0[/mm] und [mm]\begin{vmatrix}
2 & 0 & -2 \\
4 & 1 & -3 \\
-1 & 3 & 4\end{vmatrix}=0[/mm]
Wie du die Determinaten ausrechnest weißt du?
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:47 So 16.05.2004 | | Autor: | Torsten |
> Hallo Torsten!
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> > Mit Determinaten sind wir am Dienstag angefangen. Denke
>
> > mal das mein Pauker das mit der Methode haben will.
>
> Das liegt dann nahe, obwohl dies
> >
> > Den Schnittpunkt einer Graden mit einer Ebene haben wir
>
> > damit Berechnet. Habs auch schon vor meiner Internetsuche
>
> > damit probiert, kriege aber nix raus.
> >
> > Wie wende ich die Determinante bei 2 Ebenen an? Dein
> Ansatz
> > war ja nicht alles oder?
>
> Nein, du müßtest dann dann folgendes untersuchen:
>
> [mm] $E_1 \parallel E_2\ \gdw [/mm] $ [mm]\begin{vmatrix}
> 2 & 0 & 2 \\
> 4 & 1 & 5 \\
> -1 & 3 & 2\end{vmatrix}=0[/mm]
> und [mm]\begin{vmatrix}
> 2 & 0 & -2 \\
> 4 & 1 & -3 \\
> -1 & 3 & 4\end{vmatrix}=0[/mm]
>
>
> Wie du die Determinaten ausrechnest weißt du?
>
Ja, habe ich ausgerechnet und für beide Determinaten erhalte ich 0.--> Die Ebenen sind also parallel
> Viele Grüße,
> Marc
>
Danke für deine schnelle und professionelle Hilfe! Werde das Forum an Freunde weiterempfehlen und bestimmt wieder zu Gast sein.
Gruss, Torsten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:50 So 16.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Torsten!
> > Wie du die Determinaten ausrechnest weißt du?
> >
> Ja, habe ich ausgerechnet und für beide Determinaten
> erhalte ich 0.--> Die Ebenen sind also parallel
Ja, stimmt, habe ich auch herausbekommen.
Beachte noch, dass die Ebenen auch noch in diesem Fall identisch sein können, denn parallel ist "identisch" oder "echt parallel".
> Danke für deine schnelle und professionelle Hilfe! Werde
Gern geschehen.
> das Forum an Freunde weiterempfehlen und bestimmt wieder
> zu Gast sein.
Du bist ja kein Gast hier, sondern gehörst wie wir alle zum MatheRaum dazu
Viele Grüße,
Marc
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