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| Aufgabe | In einer Urne befinden sich blaue, rote, gelbe und schwarze Kugeln.
Es werden zehn Kugeln mit einem Griff gezogen (also ohne Zurücklegen) und das Ergebnis wird notiert.
Anschließend werden die zehn Kugeln wieder in die Urne zurück gelegt und gut durchgemischt. Dieser Vorgang wiederholt sich noch vier Mal.
Folgendes Ergebnis wurde in fünf Ziehungen erzielt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Frage a):
Wie viele Kugeln befinden sich mindestens in der Urne?
Frage b):
Angenommen, es sind 40 Kugeln in der Urne. Welche Verteilung (Blau, Rot, Gelb, Schwarz) wäre dann anhand der obigen Ziehungs-Ergebnisse die Wahrscheinlichste?
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Zu a):
Es sind mindestens 16 Kugeln in der Urne (nämlich 4 Blaue, 5 Rote, 3 Gelbe und 4 Schwarze). Mit weniger Kugeln hätte man die obigen Ziehungen nicht schaffen können)
Zu b):
Ich habe einfach die Summen der einzelnen Farben genommen und diese mit dem Faktor 0.8 multipliziert (50 mal wurde eine Kugel gezogen, aber es sind nur 40 Kugeln in der Urne). Die so erzielten Resultate wurden dann auf- bzw. abgerundet.
Dann ergibt sich:
11 Blau 17 Rot 6 Gelb 6 Schwarz
Allerdings habe ich große Zweifel, dass diese Methode korrekt ist.
Weil: Aufgrund des Ziehens mit einem Griff (ohne Zurücklegen) darf man die Kugeln aus den unterschiedlichen Ziehungen nicht einfach addieren.
Gegen-Probe:
In einer Urne sind 40 Kugeln. Davon sind 6 Kugeln schwarz. Man zieht mit einem Griff (ohne Zurücklegen) 10 Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man 4 Schwarze zieht? (Resultat der 3. Ziehung siehe oben)
Das Ergebnis ist p= 0.0022 - also 1 : 456
Deshalb glaube ich, dass in der Urne mehr als nur 6 schwarze Kugeln sein müssten...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Hallo rabilein!
Ich kann deine Zweifel nicht ganz nachvollziehen und habe das nahezu genauso berechnet ... mit demselben Ergebnis.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:01 Mo 18.05.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
mir stellt sich das Problem b) wie folgt dar: Die Verteilung in der Urne kann gemaess dem Modell einer multivariaten hypergeometrischen Verteilung spezifiziert werden mit
[mm] $$P(X_1=x_1,X_2=x_2,X_3=x_3,X_4=x_4)=\dfrac{\dbinom{N_1}{x_1}\dbinom{N_2}{x_2}\dbinom{N_3}{x_3}\dbinom{N_4}{x_4}}{\dbinom{40}{10}}\,,$$
[/mm]
worin [mm] $N_i$ [/mm] die Anzahl der Kugeln der Farbe $i_$ ist. Mit den fuenf Ziehungen liegt eine Stichprobe aus diesem Modell vor. Die Wsk, dass sich diese Ziehungen realisieren ist somit
[mm] $$L=\prod_{i=1}^5\dfrac{\dbinom{N_1}{x_{i1}}\dbinom{N_2}{x_{i2}}\dbinom{N_{i2}}{x_{i3}}\dbinom{N_4}{x_{i4}}}{\dbinom{40}{10}}\,.$$
[/mm]
Diese Wsk bzgl. [mm] $N_1,N_2,N_3,N_4$ [/mm] zu maximieren, also die Maximum-Likelihoodschaetzer analytisch zu bestimmen, erscheint mir keinesfalls trivial, und auch einige meiner schlauen Buecher schweigen sich dazu aus.
Was Roadrunner und du gemacht hast, ist durchaus legitim. Es handelt sich um die Momentenmethode.
vg Luis
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