Wie viele Personen auf Party? < Graphentheorie < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Auf einer Party befinden sich Paare und Singles. Alle trinken ein Glas Sekt. Jeder Gast stößt mit jedem anderen Gast mit Ausnahme seines Partners/seiner Partnerin an (Singles stoßen also mit allen anderen Gästen an.) Insgesamt wird 100 mal angestoßen. Wieviele Personen und wieviele Paare sind auf dieser Party? |
Hallo,
nach meinen Überlegungen:
Wenn Singles nur mit Singles anstoßen dann habe ich diese Formel:
[mm]\bruch{n(n-1)}{2}[/mm]=Anstöße
Wenn Pärchen nur mit Pärchen anstoßen habe ich diese Formel:
[mm]\bruch{n(n-2)}{2}[/mm]=Anstöße
Aber was ist wenn Pärchen mit Singles anstoßen oder umgekehrt?
Wie kann ich die Formel kombinieren das ich auf die Anzahl der Gäste komme?
Danke im Voraus,
mfg
sunmoonlight
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 Sa 21.02.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin sunmoonlight,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Angenommen, es gibt 2m Personen, die zu Paaren gehoeren und n Singles. Der erste Single kann mit $2m+n-1$ Personen anstossen, der zweite Single kann mit $2m+n-2$, [mm] \dots, [/mm] der n-te Single kann mit 2m Personen anstossen. Insgesamt gibt S Paare, wo ein Single dabei ist mit
[mm] $S=\sum_{i=1}^n(2m+n-i)=n(2m+n)-\frac{n(n+1)}{2}$.
[/mm]
Das erste Paar stoesst noch mit $2(2m-2)=4(m-1)$ Personen aus Paaren an, das zweite Paar stoesst noch mit $2(2m-4)=4(m-2)$ Personen aus Paaren an, usw. Die Gesamtzahl dieser "Vorfaelle" ist
[mm] $P=4\sum_{i=1}^m(m-i)=4m^2-2m(m+1)$.
[/mm]
Gesucht sind Paare (m,n) mit S+P=100. Ein kleines Prograemmchen liefert $m=n=5$.
vg Luis
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> Gesucht sind Paare (m,n) mit S+P=100. Ein kleines
> Prograemmchen liefert [mm]m=n=5[/mm].
Wie ist es möglich die Aufgabe zu lösen wenn z.B. 1034 mal angestoßen wird. Wie erkennt man, wie viele Lösungen es gibt? Oder kann es nur eine/keine Lösung geben.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Sa 21.02.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin sunmoonlight,
die Gleichung [mm] $S+P=k\iff 4m^2+4m(n-1)+n(n-1)=2k$ [/mm] fuer gegebenes $k$ ist eine sog. diophantische Gleichung (n,m,k natuerliche Zahlen). Leider kenne ich mich mit jener Theorie nicht aus, so dass ich dir keine grundsaetzliche Antwort geben kann. Durch geeignete Abschaetzungen mag man sagen koennen, dass gilt [mm] $4m^2+4m(n-1)+n(n-1)>2k$ [/mm] fuer alle $m,n>L$ fuer eine Zahl L. Dann weiss man zumindest, dass es nur endlich viele Loesungen geben kann. Ich meine, fuer $k=1034$ ist dies fuer $L=50$ der Fall. Hier finde ich die Loesung $m=1$ und $n=44$. Fuer $k=1035$ oder 1036 finde ich keine Loesung.
vg Luis
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