Wie zeige ich diese Gleichung? < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Von München fliegt jeden Tag um 13 Uhr ein Flugzeug nach Bonn ab, das mit der Wahrscheinlichkeit $p [mm] \in [/mm] (0,1) ausfällt. Flugzeugausfälle an unterschiedlichen Tagen sind voneinander unabhängig
Wenn an m = 4 aufeinanderfolgenden Tagen kein Flugzeug ausgefallen ist, was ist die Wahrscheinlichkeit, dass an den nächsten drei Tagen kein Flugzeug ausfällt? Hängt diese Wahrscheinlichkeit von m ab?
Zeigen Sie dafür, dass für die Anzahl $Y$ der Tage bis zum ersten Flugzeugausfall,
[mm] $\mathbb{P}(Y>k)=(1-p)^{k}$
[/mm]
gilt für jedes $k [mm] \in [/mm] N$. |
Einen schönen guten Tag.
Ich sitze seit einer Stunde an dieser Übungsaufgabe und finde leider überhaupt keinen Ansatz.
Ich wüsste nicht einmal wie ich diese Gleichung zeigen sollte.
Könnte mir Jemand helfen die richtige Lösung zu finden ?:)
Liebe Grüße
Jule
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:46 So 05.05.2019 | | Autor: | chrisno |
Hallo,
zur Herleitung der Formel:
Die Wahrscheinlichkeit, dass am ersten Tag der Flug nicht ausfällt ist 1-p.
Nimm dies als Anfang eines Baumdiagramms.
Die Wahrscheinlichkeit, dass am zweiten Tag kein Flug ausfällt ist .....
( ... unabhängig)
Die Wahrscheinlichkeit, dass am ersten und am zweiten Tag der Flug nicht ausfällt, ist das Produkt der beiden vorigen Wahrscheinlichkeiten.
Mit der ersten Frage wird geprüft, ob Du den Satz "... unabhängig" gelesen und verstanden hast.
|
|
|
| |
|
Hallo und danke für die Antwort.
Also gilt hier einfach nur
[mm] $(1-p)*(1-p)...(1-p)=(1-p)^k$ [/mm] ?
Daran habe ich tatsächlich auch schon gedacht, nur gilt eben auch das hier:
$P(K>k) = P(K=0)+P(K=1)+...+P(K=k-1)$ und dies würde ja nicht mit der oberen Rechnung übereinstimmen.
Ist mein Gedankengang verständlich?
Zu der anderen Aufgabe:
"Wenn an m = 4 aufeinanderfolgenden Tagen kein Flugzeug ausgefallen ist, was ist die Wahrscheinlichkeit, dass an den nächsten drei Tagen kein Flugzeug ausfällt? Hängt diese Wahrscheinlichkeit von m ab? "
Ich würde hier sagen, dass Sie unabhängig von m ist, leider fällt mir hier eine genaue Begründung nicht ein. Außer vlt, dass es unerheblich ist, was vorher passiert ist, denn die Ereignisse sind per Aufgabenstellung unabhängig.
Somit würde $k=3$ in die Formel eingesetzt folgendes ergeben:
$P(K>3) = [mm] \underline{(1-p)^3}$
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 So 05.05.2019 | | Autor: | chrisno |
> Hallo und danke für die Antwort.
>
> Also gilt hier einfach nur
>
> [mm](1-p)*(1-p)...(1-p)=(1-p)^k[/mm] ?
ja
>
> Daran habe ich tatsächlich auch schon gedacht, nur gilt
> eben auch das hier:
>
> [mm]P(K>k) = P(K=0)+P(K=1)+...+P(K=k-1)[/mm] und dies würde ja
> nicht mit der oberen Rechnung übereinstimmen.
Das ist aber Unfug.
Diese Wahrscheinlichkeiten sind alle gleich groß. Nimm genug davon und Du hast ein Ergebnis größer als 1.
>
> Ist mein Gedankengang verständlich?
Ja, aber eben falsch. Denk mit dem Baumdiagramm:
Der erste Flug ist ausgefallen. Nur wenn nun auch noch der zweite ausfällt, dann sind beide ausgefallen. Diese Wahrscheinlichkeiten müssen multipliziert werden.
>
>
> Zu der anderen Aufgabe:
> "Wenn an m = 4 aufeinanderfolgenden Tagen kein Flugzeug
> ausgefallen ist, was ist die Wahrscheinlichkeit, dass an
> den nächsten drei Tagen kein Flugzeug ausfällt? Hängt
> diese Wahrscheinlichkeit von m ab? "
>
> Ich würde hier sagen, dass Sie unabhängig von m ist,
> leider fällt mir hier eine genaue Begründung nicht ein.
> Außer vlt, dass es unerheblich ist, was vorher passiert
> ist, denn die Ereignisse sind per Aufgabenstellung
> unabhängig.
Das ist genau gemeint.
> Somit würde [mm]k=3[/mm] in die Formel eingesetzt folgendes
> ergeben:
>
>
> [mm]P(K>3) = \underline{(1-p)^3}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:45 So 05.05.2019 | | Autor: | Juliane03 |
Dankeschön
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Sei $p=0.11 .$ Man beobachtet die Züge an $k [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] unterschiedlichen Tagen. Wie groß muss $k$
mindestens sein, sodass mit Wahrscheinlichkeit größer als [mm] 99$\%$ [/mm] nicht alle $k$ Züge ausfallen? |
Hallo, ich habe zu der Aufgabe noch eine zweite Teilaufgabe und wollte einmal nachfragen ob meine Lösung stimmen würde.
Ich stelle die Gleichung [mm] $0,99>(1-0,11)^k$ [/mm] auf und forme nach k um, also
[mm] $\frac{ln(0,99}{ln(0,11)} [/mm] > k
k müsste somit größer $x<0.0862439$ sein.
Kann das stimmen?
P.S. Es tut mir leid, dass ich diese Frage vorhin vollkommen vergessen habe und hoffe, dass es nun noch ok ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 So 05.05.2019 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Sei [mm]p=0.11 .[/mm] Man beobachtet die Züge an [mm]k \in \mathbb{N}[/mm]
> unterschiedlichen Tagen. Wie groß muss [mm]k[/mm]
> mindestens sein, sodass mit Wahrscheinlichkeit größer
> als 99[mm]\%[/mm] nicht alle [mm]k[/mm] Züge ausfallen?
>
> Hallo, ich habe zu der Aufgabe noch eine zweite Teilaufgabe
> und wollte einmal nachfragen ob meine Lösung stimmen
> würde.
>
>
> Ich stelle die Gleichung [mm]0,99>(1-0,11)^k[/mm] auf
Das ist ok
> und forme nach
> k um,
Die Idee ist auch noch zielführend
> also
>
> [mm]\frac{ln(0,99}{ln(0,11)}[/mm] > k
Denke hier nochmal genau nach, ob du richtig umgeformt hast, das kann ich leider gerade nicht richtig erkennen
$ [mm] 0,99>(1-0,11)^k [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow0,99>0,89^k [/mm] $
>
> k müsste somit größer [mm]x<0.0862439[/mm] sein.
Bedenke, dass k eine natürliche Zahl sein soll.
>
> Kann das stimmen?
Für die Aufgabenwerte ja, kann es sein, dass in der Aufgabenstellung eine andere Ausfallwahrscheinlichkeit gegeben ist, evtl mit einer Zehnerpotenz, also z.B. [mm] $p=0,11\red{\cdot10^{\Box}}$ [/mm] mit einem Negativen Exponenten? Denn nur dann bekommst du Werte für k heraus, die größer als 1 sind.
Marius
|
|
|
| |
|
Hallo Marius, die Aufgabenstellung ist komplett, natürlich gehört die von der Ausgangsfrage mit dazu.
Nun zu meiner Rechnung, leider habe ich mich da etwas vermacht, es muss lauten, wenn es denn richtig ist:
[mm] $0,99<(1-0,11)^{k}$ [/mm] | Die Wahrscheinlichkeit soll ja größer als 99% sein
Wir formen um
[mm] $0,99<(1-0,11)^{k} [/mm] <=> ln(0,99) < [mm] ln(0,89)^k [/mm]
<=> ln(0,99)/ln(0,89) > k
<=> 0.0862439 < k $
Da [mm] $k\in \mathbb{N}$ [/mm] gilt k = 0 ?
Somit gibt es keinen Tag, indem die Wahrscheinlichkeit größer ist als 99%, dass kein Zug ausfällt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 So 05.05.2019 | | Autor: | Infinit |
Hallo Juliane,
unter der Voraussetzung, dass die Aufgabe korrekt gestellt wurde, komme ich auch zu Deinem Ergebnis. Dies ist auch einleuchtend, denn wenn die Ausfallwahrscheinlichkeit für einen Tag bereits 0,89 beträgt, kann durch die Potenzierung dieses Wertes nie ein Wert rauskommen, der größer ist.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
|
