Wiederholung Ebeneaufgabe < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegegeben sind die Ebenen
[mm] E_{0}=2x_{1}+6x_{2}+9x_{3}=121
[/mm]
[mm] E_{1}=6x_{1}+7x_{2}-6x_{3}=-121
[/mm]
a) Zeige, dass die Ebenen [mm] E_{0} [/mm] und und [mm] E_{1} [/mm] orthogonal zueinander sind. Stelle die Gleichung der Schnittgeraden auf.
b) Bestimme eine Parametergleichung der Ebene E, die sowohl durch [mm] E_{0} [/mm] als auch [mm] E_{1} [/mm] orthogonal ist und den Ursprung erhält.
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Hallo Zusammen ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
Ich habe am Freitag meine erste Mathe Stunde und wiederhole deswegen ein paar Aufgaben.
Ich würde gerne erstmal die beide Teilaufgaben a) und b) machen (es gibt noch c) und d)), jedoch habe ich bei der a) bereits Probleme.
Kann mir bitte jemand kurz beschreiben, welche Schritte ich für Teilaufgabe a) machen muss?
Liebe Grüße,
Sarah 
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Hallo Sarah,
> Gegegeben sind die Ebenen
> [mm]E_{0}=2x_{1}+6x_{2}+9x_{3}=121[/mm]
> [mm]E_{1}=6x_{1}+7x_{2}-6x_{3}=-121[/mm]
>
> a) Zeige, dass die Ebenen [mm]E_{0}[/mm] und und [mm]E_{1}[/mm] orthogonal
> zueinander sind. Stelle die Gleichung der Schnittgeraden
> auf.
>
> b) Bestimme eine Parametergleichung der Ebene E, die sowohl
> durch [mm]E_{0}[/mm] als auch [mm]E_{1}[/mm] orthogonal ist und den Ursprung
> erhält.
>
> Hallo Zusammen ,
>
>
> Ich habe am Freitag meine erste Mathe Stunde und wiederhole
> deswegen ein paar Aufgaben.
Das ist löblich 
>
> Ich würde gerne erstmal die beide Teilaufgaben a) und b)
> machen (es gibt noch c) und d)), jedoch habe ich bei der a)
> bereits Probleme.
>
> Kann mir bitte jemand kurz beschreiben, welche Schritte ich
> für Teilaufgabe a) machen muss?
Na, was bedeutet denn, dass die Ebenen orthogonal sind für ihre Normalenvektoren? Doch auch, dass diese orthogonal sind.
Wann sind 2 Vektoren orthogonal? (Skalarprodukt...)
Zur Bestimmung der Schnittgerade kannst du die beiden Ebenengleichungen gleichsetzen und das entstehende LGS lösen ...
>
>
>
> Liebe Grüße,
>
> Sarah
Dito
schachuzipus
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Hallo nochmal,
wenn du magst, schaue doch mal ![[]](/images/popup.gif) dort vorbei, da gibt's Ebenenschnitte in allen Varianten
LG
schachuzipus
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Hallo schachuzipus ,
> Das ist löblich
Ich weiß Dieses Jahr wird gelernt...
> Na, was bedeutet denn, dass die Ebenen orthogonal sind für
> ihre Normalenvektoren? Doch auch, dass diese orthogonal
> sind.
>
> Wann sind 2 Vektoren orthogonal? (Skalarprodukt...)
Ah ja, das Skalarprodukt muss =0 sein.
Das heißt, dass ich [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] * den Vektor [mm] \vec{n} [/mm] nehmen muss, oder?
> Zur Bestimmung der Schnittgerade kannst du die beiden
> Ebenengleichungen gleichsetzen und das entstehende LGS
> lösen ...
Ja, ich glaube, dass müsste ich hinbekommen
Danke für die Antwort!
Liebe Grüße,
Sarah
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Hello again,
> Hallo schachuzipus ,
>
>
> > Das ist löblich
>
> Ich weiß Dieses Jahr wird gelernt...
Das nehme ich mir auch immer vor, aber du kennst das ja - hach *seufz*
>
> > Na, was bedeutet denn, dass die Ebenen orthogonal sind für
> > ihre Normalenvektoren? Doch auch, dass diese orthogonal
> > sind.
> >
> > Wann sind 2 Vektoren orthogonal? (Skalarprodukt...)
>
> Ah ja, das Skalarprodukt muss =0 sein.
>
> Das heißt, dass ich [mm]\vec{u}[/mm] und [mm]\vec{v}[/mm] * den Vektor
> [mm]\vec{n}[/mm] nehmen muss, oder?
Äh nö, du nimmst dir den Normalenvektor von [mm] $E_0$, [/mm] also [mm] $\vec{n}_{E_0}$ [/mm] und den von [mm] $E_1$, [/mm] also [mm] $\vec{n}_{E_1}$ [/mm] her und musst zeigen, dass [mm] $\vec{n}_{E_0}\star\vec{n}_{E_1}=0$ [/mm] ist
>
> > Zur Bestimmung der Schnittgerade kannst du die beiden
> > Ebenengleichungen gleichsetzen und das entstehende LGS
> > lösen ...
>
> Ja, ich glaube, dass müsste ich hinbekommen
>
>
>
> Danke für die Antwort!
>
>
> Liebe Grüße,
>
> Sarah
>
Jo zurück
LG
schachuzipus
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Hallo,
> Äh nö, du nimmst dir den Normalenvektor von [mm]E_0[/mm], also
> [mm]\vec{n}_{E_0}[/mm] und den von [mm]E_1[/mm], also [mm]\vec{n}_{E_1}[/mm] her und
> musst zeigen, dass [mm]\vec{n}_{E_0}\star\vec{n}_{E_1}=0[/mm] ist
Mhmmm... Das verstehe ich nicht. Wo finde ich denn den N-Vektor der Ebenen?
Liebe Grüße,
Sarah
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Hallo Sarah,
na, den Normalenvektor einer Ebene in Koordinatendarstellung (bzw. Normalform oder wie das heißt) kannst du doch an der Ebenengleichung ablesen ...
Remember how ....
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:42 Di 12.08.2008 | | Autor: | espritgirl |
> na, den Normalenvektor einer Ebene in
> Koordinatendarstellung (bzw. Normalform oder wie das heißt)
> kannst du doch an der Ebenengleichung ablesen ...
Oh ja, ich weiß wieder wie... Einfach die Faktoren vor dem x ablesen... Gut, dass ich Mathe vor der Stunde nochmal wiederhole
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| Aufgabe | Gegegeben sind die Ebenen
$ [mm] E_{0}=2x_{1}+6x_{2}+9x_{3}=121 [/mm] $
$ [mm] E_{1}=6x_{1}+7x_{2}-6x_{3}=-121 [/mm] $
a) Zeige, dass die Ebenen $ [mm] E_{0} [/mm] $ und und $ [mm] E_{1} [/mm] $ orthogonal zueinander sind. Stelle die Gleichung der Schnittgeraden auf. |
Hallo Zusammen ,
Ich habe jetzt für die Teilaufgabe a) die Normalenvektoren sowie die Vektoren u und v bestimmt:
[mm] \vec{n}_{E0}=\vektor{2 \\ 6 \\ 9}
[/mm]
Daraus habe ich [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] bestimmt:
[mm] \vec{u}_{E0}=\vektor{6 \\ -2 \\ 0}
[/mm]
[mm] \vec{n}_{E0}=\vektor{0 \\ -2 \\ 0}
[/mm]
[mm] \vec{n}_{E1}=\vektor{6 \\ 7 \\ -6}
[/mm]
Daraus folgen
[mm] \vec{u}=\vektor{7 \\ -6 \\ 0}
[/mm]
und
[mm] \vec{v}=\vektor{2 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
Und wie muss ich jetzt weiter vorgehen?
Liebe Grüße,
Sarah
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Hi Sarah,
Damit die Ebenen orthogonal zu einander sind was muss für ihre Normlenvektoren gelten? Das weisst du sicher.
Zur Schnittgeradenbestimmung:
Du hast [mm] \\2 [/mm] Koordinatengl
Löse folgendes LGS:
2x+6y+9z=121
6x+7y-6z=-121
Kommst du damit weiter?
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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Hey Tyskie ,
> Damit die Ebenen orthogonal zu einander sind was muss für
> ihre Normlenvektoren gelten? Das weisst du sicher.
Nee, ich komm gerade wirklich nicht drauf. Kanns auch nicht nach gucken, da ich meine alten Unterlagen verliehen habe.
> Zur Schnittgeradenbestimmung:
> Löse folgendes LGS:
> 2x+6y+9z=121
> 6x+7y-6z=-121
>
> Kommst du damit weiter?
Das kommt mir schon mal wieder bekannt vor.
Ich brauche dafür doch einen Punkt [mm] \vec{a}, [/mm] oder? Wie komme ich an den denn ran?
Dann muss ich [mm] \vec{x} [/mm] ausschreiben für [mm] E_{0},also
[/mm]
[mm] E_{0}=\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=\vektor{a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}}+\lambda*\vektor{6 \\ -2 \\ 0}+\mu*\vektor{0 \\ -2 \\ 3}
[/mm]
Bitte sag mir, dass das soweit richtig ist...
Liebe Grüße,
Sarah
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| Aufgabe | Gegegeben sind die Ebenen
$ [mm] E_{0}=2x_{1}+6x_{2}+9x_{3}=121 [/mm] $
$ [mm] E_{1}=6x_{1}+7x_{2}-6x_{3}=-121 [/mm] $
a) Stelle die Gleichung der Schnittgeraden auf. |
Hallo Tyskie ,
Sitze immer noch an der Aufgabe... Ist nicht so leicht, wie gedacht
> Also zwei Ebenen sind orthogonal wenn ihre Normalenvektoren
> orthogonal zueinander sind. Wann sind diese Vektoren
> orthogonal zueinander doch gerade wenn ihr Skalarprodukt
> [mm]\\0[/mm] ist. Und das ist bei diesen Normalenvektoren der Fall.
> Rechne es nach.
Ja, dass ist mir dann auch wieder eingefallen.
Dann muss
[mm] \vec{n_{E0}}*\vec{n_{E1}}=0 [/mm] sein, und das ist in meinem Beispiel auch so. Also sind die Ebenen orthogonal zueinander.
> Also wir haben das folgende LGS
>
> 2x+6y+9z=121
> 6x+7y-6z=-121 Wir rechnen nun zb 3II+2I
>
> 22x+33y =-121
> 6x+7y-6z=-121 (*)
>
> Wähle nun zum Beispiel [mm]\\y=t[/mm] Dann haben wir [mm]\\22x+33t=-121[/mm]
> und stelle nach [mm]\\x[/mm] um.
>
> [mm]\\x=-\bruch{11}{2}-\bruch{3}{2}t[/mm]
Hier kann ich dir nicht folgen...
Ich habe mir folgendes gedacht:
Ich errechne mir einen Punkt A. Für die Ebene [mm] E_{0} [/mm] lautet er (7 / 6 / 9), da ich für die alle drei x Werte finden muss, die 121 ergeben.
Dann habe ich eine Parametergleichung aufgestellt:
[mm] \vec{x}=\vektor{7 \\ 6 \\ 9}+\lambda*\vektor{6 \\ -2 \\ 0}+\mu*\vektor{0 \\ -2 \\ 3}
[/mm]
Dann schreibe ich die PG um:
[mm] x_{1}=7+6\lambda+0\mu
[/mm]
[mm] x_{2}=6-2\lambda-2\mu
[/mm]
[mm] x_{3}=9+0\lambda+3\mu
[/mm]
Und dann wollte ich dir Ergebnisse in [mm] E_{1} [/mm] einsetzen. Und dann meine ich, dass ich noch irgendeine Besonderheit beachten muss, die die ganzen x betreffen.
Das wäre doch auch eine Möglichkeit, oder?
Liebe Grüße,
Sarah
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Hallo, du hattest
I. Gleichung: 2x+6y+9z=121
II. Gleichung: 6x+7y-6z=-121
wir bilden eine neue I. Gleichung: 3*II+2*1
3*6x+2*2x + 3*7y+2*6y + 3*(-6)z+2*9z=3*(-121) + 2*121
22x+33y=-121
wir setzen den Parameter t, y=t
22x+33t=-121
22x=-33t-121
x=
jetzt schaffst du es,
Steffi
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> Gegegeben sind die Ebenen
> [mm]E_{0}=2x_{1}+6x_{2}+9x_{3}=121[/mm]
> [mm]E_{1}=6x_{1}+7x_{2}-6x_{3}=-121[/mm]
>
> a) Stelle die Gleichung der Schnittgeraden auf.
Hallo,
Steffi21 hat Dir schon gezeigt, wie Du durch Lösung des Gleichungssystems direkt zur Schnittgeraden kommen kannst.
Ich möchte trotzdem noch auf den von Dir eingeschlagenen Weg eingehen.
Er enthält Rechenfehler, ist aber gangbar.
> Ich habe mir folgendes gedacht:
>
> Ich errechne mir einen Punkt A. Für die Ebene [mm]E_{0}[/mm] lautet
> er (7 / 6 / 9), da ich für die alle drei x Werte finden
> muss, die 121 ergeben.
Letzteres ist richtig. Nicht richtig ist, daß 2*7+6*6+9*9 als Ergebnis 121 hat...
Du solltest also nach einem Punkt fahnden, welcher wirklich in der Ebene liegt.
Wenn man Lust hat, kann man sich das leicht machen: nimm einfach für zwei Variable die 0.
>
> Dann habe ich eine Parametergleichung aufgestellt:
>
>
> [mm]\vec{x}=\vektor{7 \\ 6 \\ 9}+\lambda*\vektor{6 \\ -2 \\ 0}+\mu*\vektor{0 \\ -2 \\ 3}[/mm]
Abgesehen davon, daß der Aufpunkt aufgrund des oben besprochenen Fehlers nicht stimmt, ist der zweite Richtungsvektor nicht richtig.
Vielleicht ist dies aber nur ein Übertragungsfehler: [mm] \vektor{0 \\ -3 \\ 2} [/mm] würde nämlich passen.
>
> Dann schreibe ich die PG um:
>
> [mm]x_{1}=7+6\lambda+0\mu[/mm]
> [mm]x_{2}=6-2\lambda-2\mu[/mm]
> [mm]x_{3}=9+0\lambda+3\mu[/mm]
>
> Und dann wollte ich dir Ergebnisse in [mm]E_{1}[/mm] einsetzen. Und
> dann meine ich, dass ich noch irgendeine Besonderheit
> beachten muss, die die ganzen x betreffen.
Es fällt mir keine Besonderheit ein.
Du kannst das dann in die Gleichung für [mm] E_1 [/mm] einsetzen.
Nun mußt Du nach [mm] \mu [/mm] auflösen (nach [mm] \lambda [/mm] ginge natürlich auch!).
Auf der anderen Seite des GSs hast Du dann was, in dem [mm] \lambda [/mm] vorkommt.
Mit dem erhaltenen [mm] \mu [/mm] gehst Du nun wieder in Deine Parametergleichung.
Falls Du hier nicht weiterkommst, können wir ja nochmal gucken, eine Beschreibung ins Blaue hinein kommt mir gerade nicht so sinnvoll vor.
> Das wäre doch auch eine Möglichkeit, oder?
Ja, aber es dauert vermutlich länger, und weil noch Vorarbeiten (wie das Aufstellen der Parameterform) zu erledigen sind, gibt es mehr Stellen, an denen man Fehler machen kann.
Andererseits ist aber der Weg, den man kann und versteht, meist der sicherste.
Noch eine andere Möglichkeit, falls das Kreuzprodukt dran war:
Das Kreuzprodukt der Normalenvektoren liefert Dir den Richtungsvektor der Schnittgeraden,
aus den beiden Gleichungenkannst Du einen gemeinsamen Punkt ermitteln.
Aus den beiden Zutaten kannst Du dann die parameterdarstellung der Schnittgeraden schnell bauen.
Gruß v. Angela
>
>
>
> Liebe Grüße,
>
> Sarah
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Hallo Angela ,
Das mit dem Kreuzprodukt haben wir noch nicht gemacht, deswegen vernachlässige ich das mal.
Der richtig ausgerechnete Punkt A lautet (2 / 6 / 9)
Damit habe ich die PG
[mm] \vec{x}=\vektor{2 \\ 6 \\ 9}+\lambda\vektor{6 \\ -2 \\ 0}+\mu\vektor{0 \\ -3 \\ 2}
[/mm]
Daraus erhalte ich dann
[mm] x_{1}=2+6\lambda+0\mu
[/mm]
[mm] x_{2}=6-2\lambda-3\mu
[/mm]
[mm] x_{3}=9+0\lambda+2\mu
[/mm]
Diese Werte habe ich in [mm] E_{1} [/mm] eingesetzt:
[mm] 6x_{1}+7x_{2}-6x_{3}=-121
[/mm]
[mm] =6*(2+6\lambda+0\mu)+7*(6-2\lambda-3\mu)+(-6)*(9+0\lambda+2\mu)=-121
[/mm]
[mm] =22\lambda-33\mu=-121 [/mm] / /(-33)
[mm] =\mu=3,6-0,6\lambda
[/mm]
Dann habe ich das in die PG wieder eingesetzt:
[mm] \vec{x}=\vektor{2 \\ 6 \\ 9}+\lambda\vektor{6 \\ -2 \\ 0}+(3,6-0,6\lambda)\vektor{0 \\ -3 \\ 2}
[/mm]
[mm] =\vektor{2 \\ 6 \\ 9}+\vektor{6 \\ -2 \\ 0}\lambda+\vektor{0 \\ 0 \\ 1}\lambda
[/mm]
Dann erhalte ich die Schnittgerade
[mm] g:\vektor{2 \\ 6 \\ 9}+\vektor{0 \\ 0 \\ 1}\lambda
[/mm]
Allerdings sieht dieses Ergebnis falsch aus.
Liebe Grüße,
Sarah
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 Mi 13.08.2008 | | Autor: | Kroni |
> Hallo Angela ,
>
>
>
>
> Der richtig ausgerechnete Punkt A lautet (2 / 6 / 9)
>
> Damit habe ich die PG
>
> [mm]\vec{x}=\vektor{2 \\ 6 \\ 9}+\lambda\vektor{6 \\ -2 \\ 0}+\mu\vektor{0 \\ -3 \\ 2}[/mm]
>
> Daraus erhalte ich dann
>
> [mm]x_{1}=2+6\lambda+0\mu[/mm]
> [mm]x_{2}=6-2\lambda-3\mu[/mm]
> [mm]x_{3}=9+0\lambda+2\mu[/mm]
>
Das ist korrekt.
> Diese Werte habe ich in [mm]E_{1}[/mm] eingesetzt:
>
> [mm]6x_{1}+7x_{2}-6x_{3}=-121[/mm]
>
> [mm]=6*(2+6\lambda+0\mu)+7*(6-2\lambda-3\mu)+(-6)*(9+0\lambda+2\mu)=-121[/mm]
> [mm]=22\lambda-33\mu=-121[/mm] / /(-33)
Bis hierhin ist es okay.
> [mm]=\mu=3,6-0,6\lambda[/mm]
Nein. [mm] $\frac{122}{33}\not=3.6$! [/mm] Das ist sicher nicht 3.6, weil die Zahl ist periodisch! Lass es doch einfach als Bruch da stehen! [mm] $\frac{22}{33}$ [/mm] ist auch nicht 0.6! Das ist doch alles nur gerundet =(
Das weitere Vorgehen ist okay. Das jetzt korrekt umtsellen, einstezen, ausmultiplizieren, und dann die Lambdas wieder zusammenfassen. Dann kommt da das richtige raus.
>
> Dann habe ich das in die PG wieder eingesetzt:
>
> [mm]\vec{x}=\vektor{2 \\ 6 \\ 9}+\lambda\vektor{6 \\ -2 \\ 0}+(3,6-0,6\lambda)\vektor{0 \\ -3 \\ 2}[/mm]
>
> [mm]=\vektor{2 \\ 6 \\ 9}+\vektor{6 \\ -2 \\ 0}\lambda+\vektor{0 \\ 0 \\ 1}\lambda[/mm]
>
> Dann erhalte ich die Schnittgerade
>
> [mm]g:\vektor{2 \\ 6 \\ 9}+\vektor{0 \\ 0 \\ 1}\lambda[/mm]
>
>
> Allerdings sieht dieses Ergebnis falsch aus.
>
Wenn du das jetzt weiter ausrechnest, und das in beide Ebenengleichungen einsetztzt, muss beides mal etwas wie 0=0 rauskommen, weil ja deine ausgerechnete Gerade sowohl in der ersten Ebene als auch in der zweiten Ebene liegt.
LG
Kroni
>
> Liebe Grüße,
>
> Sarah
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Hallo Andy ,
> Nein. [mm]\frac{122}{33}\not=3.6[/mm]! Das ist sicher nicht 3.6,
> weil die Zahl ist periodisch! Lass es doch einfach als
> Bruch da stehen! [mm]\frac{22}{33}[/mm] ist auch nicht 0.6! Das ist
> doch alles nur gerundet =(
OK, ich halte die ungerundeten Werte bei.
Mein Vorgehen war aber richtig, auch mit gerundeten Werten? Auch, wie ich am Ende die Lambdas zusammengefasst habe?
> Wenn du das jetzt weiter ausrechnest, und das in beide
> Ebenengleichungen einsetztzt, muss beides mal etwas wie 0=0
> rauskommen, weil ja deine ausgerechnete Gerade sowohl in
> der ersten Ebene als auch in der zweiten Ebene liegt.
Was muss ich in beiden Ebenengleichungen einsetzen?
LG,
Sarah
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Mi 13.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich seh leider nicht, wie du die Lambdas zusammengefasst hast....Wenn du aber, wie in deinem Fall zwei Skalare hast und einen Vektor, dann gilt:
[mm] $(a+b)*\vec{c}=a*\vec{c}+b*\vec{c}$. [/mm] Das musst du mit deinem letzten Vektor auch machen. Denn dann erhälst du auch einen anderen Stützvektor.
Was ich nur meinte ist folgendes: Du kannst ja das Ergebnis deiner errechneten Schnittgerade der beiden Ebenen in beide Ebenengleichungen einsetzen. Da deine Gerade ja in beiden Ebenen liegt, muss das dann auch aus deiner Einsetzerei wieder rauskommen. Das ist dann immer so eine Kontrollmöglichkeit deiner Lösung.
LG
kroni
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Hallo Andy ,
Ich habe den ersten Teil zweimal nachgerechnet,
[mm] \mu=\bruch{121}{33}+\bruch{22}{33}\lambda [/mm]
müsste stimmen.
Das habe ich dann in die PG eingesetzt:
[mm] \vec{x}=\vektor{2 \\ 6 \\ 9}+\lambda*\vektor{6 \\ -2 \\ 0}+\mu\vektor{0 \\ -3 \\ 2}
[/mm]
[mm] =\vektor{2 \\ 6 \\ 9}+\lambda*\vektor{6 \\ -2 \\ 0}+(\bruch{121}{33}+\bruch{22}{33}\lambda )\vektor{0 \\ -3 \\ 2}
[/mm]
= [mm] =\vektor{2 \\ 6 \\ 9}+\lambda*\vektor{6 \\ -2 \\ 0}+\vektor{0 \\ -13 \\ \bruch{26}{3}}
[/mm]
=> Schnittgerade: [mm] =\vektor{2 \\ 6 \\ 9}+\lambda*\vektor{0 \\ -15 \\ \bruch{26}{3}}
[/mm]
Stimmt die Rechnung nun?
Und nochmal zum Einsetzen in die Ebenengleichungen:
Wie mache ich das? Wo muss das eingesetzt werden? geht das auch, wenn die K-F angegeben ist?
Liebe Grüße,
Sarah
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Mi 13.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
das kann nicht stimmen.
In deiner Schnittgeraden hast du immer noch den selben Stützvektor, obwohl du noch einen additiven Vektor, der nicht von [mm] $\lambda$ [/mm] abhängt, da stehen hast....
> Hallo Andy ,
>
> Ich habe den ersten Teil zweimal nachgerechnet,
>
> [mm]\mu=\bruch{121}{33}+\bruch{22}{33}\lambda[/mm]
>
> müsste stimmen.
>
Ja, das mag sein.
>
> Das habe ich dann in die PG eingesetzt:
>
> [mm]\vec{x}=\vektor{2 \\ 6 \\ 9}+\lambda*\vektor{6 \\ -2 \\ 0}+\mu\vektor{0 \\ -3 \\ 2}[/mm]
>
> [mm]=\vektor{2 \\ 6 \\ 9}+\lambda*\vektor{6 \\ -2 \\ 0}+(\bruch{121}{33}+\bruch{22}{33}\lambda )\vektor{0 \\ -3 \\ 2}[/mm]
>
> = [mm]=\vektor{2 \\ 6 \\ 9}+\lambda*\vektor{6 \\ -2 \\ 0}+\vektor{0 \\ -13 \\ \bruch{26}{3}}[/mm]
>
Das verstehe ich nicht, was du da rechnest.
Schreibe dir das doch erstmal so hin:
Was ist denn [mm] $(\bruch{121}{33}+\bruch{22}{33}\lambda )\vektor{0 \\ -3 \\ 2}$ [/mm] ?
Multipliziere das mal aus, und schreib dann die beiden (ja, es sind zwei) Vektoren hin.
Dann hast du einmal einen Vektor, der nicht von [mm] $\lambda$ [/mm] abhängt, den du dann mit deinem "alten" Stützvektor zusammenaddieren kannst.
Dann hast du da noch zwei Vektoren stehen, die als Faktor davor das [mm] $\lambda$ [/mm] haben. Da kannst du dann das [mm] $\lambda$ [/mm] ausklammern, und dann steht da [mm] $\lambda$ [/mm] mal die Summe aus den beiden Vektoren.
Siehst du, was ich meine?
> => Schnittgerade: [mm]=\vektor{2 \\ 6 \\ 9}+\lambda*\vektor{0 \\ -15 \\ \bruch{26}{3}}[/mm]
D
>
>
> Stimmt die Rechnung nun?
>
>
> Und nochmal zum Einsetzen in die Ebenengleichungen:
>
> Wie mache ich das? Wo muss das eingesetzt werden? geht das
> auch, wenn die K-F angegeben ist?
Was versehst du unter der Koordinatenform? x+y+z=c? Ja, damit gehts am einfachsten.
Du nimmst einfach deine Schnittgerade her, sagst wieder: [mm] $x_1=\dots$, $x_2=\dots$, [/mm] und setzt das dann in die Koordinatenform der Ebene ein. Das ist genau das Problem von wegen: Schnittpunkt Ebene-Gerade berechnen, da setzt du ja auch die Gerade in die Koordinatenform deiner Ebene ein, und kriegst dann raus: [mm] $\lambda=\dots$. [/mm] In deinem Fall muss halt etwas rauskommen wie $0=0$, weil die Gerade ja in der Ebene liegt.
Nun klarer?
LG
Kroni
>
>
>
> Liebe Grüße,
>
> Sarah
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Hallo Kroni ,
> > Das habe ich dann in die PG eingesetzt:
> >
> > [mm]\vec{x}=\vektor{2 \\ 6 \\ 9}+\lambda*\vektor{6 \\ -2 \\ 0}+\mu\vektor{0 \\ -3 \\ 2}[/mm]
>
> >
> > [mm]=\vektor{2 \\ 6 \\ 9}+\lambda*\vektor{6 \\ -2 \\ 0}+(\bruch{121}{33}+\bruch{22}{33}\lambda )\vektor{0 \\ -3 \\ 2}[/mm]
>
> >
> > = [mm]=\vektor{2 \\ 6 \\ 9}+\lambda*\vektor{6 \\ -2 \\ 0}+\vektor{0 \\ -13 \\ \bruch{26}{3}}[/mm]
> Das verstehe ich nicht, was du da rechnest.
> Schreibe dir das doch erstmal so hin:
> Was ist denn [mm](\bruch{121}{33}+\bruch{22}{33}\lambda )\vektor{0 \\ -3 \\ 2}[/mm]
> ?
> Multipliziere das mal aus, und schreib dann die beiden (ja,
> es sind zwei) Vektoren hin.
Mir war nicht klar, dass bei der Multiplikation zwei Vektoren raus kommen...
Also lautet die Schnittgerade:
[mm] \vektor{2 \\ -5 \\ \bruch{49}{3}} [/mm] + [mm] \lambda\vektor{6 \\ -4 \\ \bruch{4}{3}}
[/mm]
Jetzt stimmt sie aber, oder?!
> > => Schnittgerade: [mm]=\vektor{2 \\ 6 \\ 9}+\lambda*\vektor{0 \\ -15 \\ \bruch{26}{3}}[/mm]
> Du nimmst einfach deine Schnittgerade her, sagst wieder:
> [mm]x_1=\dots[/mm], [mm]x_2=\dots[/mm], und setzt das dann in die
> Koordinatenform der Ebene ein. Das ist genau das Problem
> von wegen: Schnittpunkt Ebene-Gerade berechnen, da setzt du
> ja auch die Gerade in die Koordinatenform deiner Ebene ein,
> und kriegst dann raus: [mm]\lambda=\dots[/mm]. In deinem Fall muss
> halt etwas rauskommen wie [mm]0=0[/mm], weil die Gerade ja in der
> Ebene liegt.
Ja... Ich glaube, dass bekomme ich hin.
LG,
Sarah
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 Mi 13.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, jetzt passts.
LG
Kroni
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Hallo Sarah,
ich wie ich sehe bist du jetzt auf die Schnittgerade gekommen. Ich schreibe bewusst erst jetzt da ich dir zeigen wollte wie der andere Weg aussehen würde.
Ausgang waren zwei Ebenengleichungen in Koordinatenform.
Demanch haben wir die Gleichungen:
[mm] \\2x+6y+9z=121 [/mm]
[mm] \\6x+7y-6z=-121
[/mm]
Nun rechnen wir [mm] \\3II+2I [/mm] und erhalten:
[mm] \\22x+33y [/mm] =-121
[mm] \\6x+7y-6z=-121 [/mm] (*)
Jetzt wählen wir [mm] \red{y=t}
[/mm]
Also:
22x+33t =-121
[mm] \Rightarrow \blue{x=-\bruch{11}{2}-\bruch{3}{2}t}
[/mm]
Nun in (*) einsetzen:
[mm] 6(\blue{-\bruch{11}{2}-\bruch{3}{2}t})+7\red{t}-6z=-121
[/mm]
[mm] \Rightarrow \\-33-9t+7t-6z=-121
[/mm]
[mm] \Rightarrow \\-6z=-88+2t
[/mm]
[mm] \Rightarrow \\z=\bruch{44}{3}-\bruch{1}{3}t
[/mm]
Damit haben wir insgesamt:
[mm] \\x=-\bruch{11}{2}-\bruch{3}{2}t
[/mm]
[mm] \\y=t
[/mm]
[mm] \\z=\bruch{44}{3}-\bruch{1}{3}t
[/mm]
Jetzt haben wir die gesuchte Schnittgerade:
[mm] \\g:\vec{x}=\vektor{-\bruch{11}{2} \\ 0 \\ \bruch{44}{3}}+t\vektor{-\bruch{3}{2} \\ 1 \\ -\bruch{1}{3}} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] FERTIG
Nun hast du auch diesen Weg. Es führen also mehrere Wege zum Ziel. Wie Angela schon angesprochen hat solltest du für dich den sicheren Weg benutzen. Aber leider entstehen bei dem längeren Weg öfters Fehler. Also schau dir mal meine Vorgehensweise an.
Gruß
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![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
Du sollst eine Schnittgerade bestimmen. 