Wiederholung:Polynomdivision < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Di 25.09.2007 | | Autor: | Mikel |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichung
[mm] x^6-28x^3+27=0 [/mm] |
Hallo,
ich habe einige Polynomdivisonen erfolgreich geübt. Aber bei dieser Aufgabe weiß ich nicht mehr weiter.
Zunächst habe ich ja die erste Polynomdivision durch (x-3) durchgeführt und als Ergebnis erhielt ich eine weitere Funktion 5ten Gerades. Der erste Nullstelle ermittelte ich durch Ausprobieren und erhielt x = 3. Das Lineare Glied ist also (x-3):
[mm] (x^6-28x^3+27):(x-3) [/mm] = [mm] x^5+3x^4+9x^3-x^2-3x-9 [/mm] ohne Rest!
Dann fuhr ich fort mit der neu erhaltenenFuntion 5ten Gerades. Weitere Nullstelle bei x = 1, Lineares Glied also (x-1).
[mm] (x^5+3x^4+9x^3-x^2-3x-9 [/mm] ):(x-1) = [mm] x^4+4x^3+13x^2+12x+9 [/mm] ohne Rest!
Das Ergebnis ist nun wieder eine weitere Funktion 4ten Gerades. Mein Problem, ich finde kein lineares Glied mehr, durch das ich die Polynomdivision durchführen kann. Die durch Probieren zu erhaltene Nullstelle müsste auf jedem Fall irgendwo im negativen Bereich liegen, da die Funktion 4ten gerades hier nur aus positiven Termen besteht. Oder mache ich es mir zu schwer?
Kann jemand so nett sein und mir einen neuen Ansatz liefern?
Weitere Frage: Statt [mm] (x^6-28x^3+27):(x-3)=0 [/mm] hätte ich auch durch (x-1) teilen können. Nur bleibt dann ein rest übrig, obwohl die Funktion für x = 1 auch Null wird. Das begreife ich ja nun gar nicht.
Im voraus herzlichen Dank
Mikel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 Di 25.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mikel!
Durch die Substitution $z \ := \ [mm] x^3$ [/mm] kannst Du auf die diversen  Polynomdivisionen verzichten, da Du nun eine quadratische Gleichung erhältst mit [mm] $z^2-28*z+27 [/mm] \ = \ 0$.
Am Ende die Resubstitution [mm] $x_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[3]{z_{1/2}}$ [/mm] nicht vergessen ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:24 Di 25.09.2007 | | Autor: | Mikel |
Hallo Loddar,
vielen Dank. Ich hatte einen totalen Denkfehler. Der bestand darin, dass ich davon ausging, Substitution wird nur bei geraden Potenzen gemacht.
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