Windschiefe Geraden < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:22 Fr 06.01.2006 | | Autor: | ManuP |
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
Hi!
Ich bereite mich derzeit auf das Abitur (RLP) vor. Natürlich kann ich den Abstand zweier windschiefer Geraden berechnen, jedoch auf eine leicht kompliziert Art, indem ich einer Hilfsebene Arbeite.
Etwas leichter geht es mit einer Formel aus der Formelsammlung:
Abstand d:
[mm] d=|(\vec{as}x \vec{bs})*( \vec{ar}- \vec{br})|
[/mm]
wobei
[mm] \vec{as} [/mm] / [mm] \vec{bs} [/mm] der Stützvektor der Geraden a/b ist,
[mm] \vec{ar} [/mm] / [mm] \vec{br} [/mm] der Richtungsvektor der Geraden a/b.
Mich würde die Herleitung dafür interessiern.
Habe es über "meine" oben genannte Art versucht (indem ich alles variabel lies), es hat aber nicht geklappt.
Vielleicht kann mir jemand helfen,
lg ManuP
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Hi, ManuP,
> Natürlich kann ich den Abstand zweier windschiefer Geraden
> berechnen, jedoch auf eine leicht kompliziert Art, indem
> ich einer Hilfsebene Arbeite.
So wird das im Allgemeinen gemacht!
> Etwas leichter geht es mit einer Formel aus der
> Formelsammlung:
> Abstand d:
>
> [mm]d=|(\vec{as}x \vec{bs})*( \vec{ar}- \vec{br})|[/mm]
>
Das kann so nicht stimmen!
Die Formel lautet vielmehr:
[mm] d=|(\vec{ar}x \vec{br})^{o}*( \vec{as}- \vec{bs})|
[/mm]
> Mich würde die Herleitung dafür interessiern.
Diese Formel ist einfach die "Kurzfassung" Deiner oben genannten Methode!
Was tust Du da?
(1) Du ermittelst die HNF einer Ebene, die die Gerade b enthält und zur Geraden a parallel liegt.
Dazu bildest Du das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren (siehe meine Formel!)
und dividierst anschließend durch die Länge des errechneten Normalenvektors.
(Daher der hochgestellte Nuller!)
Mit [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vec{a_{r}} \times \vec{b_{r}}
[/mm]
sieht diese HNF dann etwa so aus:
[mm] \vec{n}^{o} \circ (\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{b_{s}}) [/mm] = 0
(2) Nun setzt Du den Aufpunkt der Geraden a in die linke Seite ein. Der Betrag des Ergebnisses ist dann der gesuchte Abstand:
d = [mm] |\vec{n}^{o} \circ (\vec{a_{s}} [/mm] - [mm] \vec{b_{s}})|
[/mm]
Das war's schon!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:33 Fr 06.01.2006 | | Autor: | ManuP |
Hi Zwerglein.
> > Mich würde die Herleitung dafür interessiern.
> Diese Formel ist einfach die "Kurzfassung" Deiner oben genannten Methode!
> Was tust Du da?
> (1) Du ermittelst die HNF einer Ebene, die die Gerade b enthält und zur Geraden a parallel liegt.
> Dazu bildest Du das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren (siehe meine Formel!)
> und dividierst anschließend durch die Länge des errechneten Normalenvektors.
Meine Standard-Methode sieht etwas anders aus:
Ich erstelle eine Hilfsebene die senkrecht zu a ist und durch a geht (z.b. Stützvektor).
Danach schneide ich b mit der Hilfsebene und errechne dann den Betrag des Differenzenvektors
(Abstand Punkt-Punkt).
Danke für deine Antwort, werde das aber noch unter die Lupe nehmen ;)
lg ManuP
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:41 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, ManuP,
> Meine Standard-Methode sieht etwas anders aus:
> Ich erstelle eine Hilfsebene die senkrecht zu a ist und
> durch a geht (z.b. Stützvektor).
> Danach schneide ich b mit der Hilfsebene und errechne dann
> den Betrag des Differenzenvektors
> (Abstand Punkt-Punkt).
Diese Methode erscheint mir sehr zweifelhaft! Wo hast Du die her?
M.E. führt dieses Vorgehen nur dann zum gewünschten Ergebnis, wenn Du als Aufpunkt Deiner Hilfsebene ZUFÄLLIGERWEISE (!) einen Fußpunkt des gemeinsamen Lotes erwischt. Und das kommt doch eher selten vor!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:19 Sa 07.01.2006 | | Autor: | ManuP |
Du hast Recht und ich bin geschockt. Das ist schon ein sehr grob fahrlässiger Fehler von mir gewesen.
Naja, aber jetzt weiß ich bescheid.
Darf doch mal vorkommen, das man bei dem ganzen Abi-Lernen ein Fehler macht, oder?
Vielen Dank,
ManuP
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:33 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, ManuP,
> Du hast Recht und ich bin geschockt. Das ist schon ein sehr
> grob fahrlässiger Fehler von mir gewesen.
>
> Naja, aber jetzt weiß ich bescheid.
> Darf doch mal vorkommen, das man bei dem ganzen Abi-Lernen
> ein Fehler macht, oder?
Darf vorkommen! 
Hauptsache, es kommt dann im Abi nicht vor!
Viel Erfolg beim Lernen - und dann natürlich: toi toi toi!
mfG!
Zwerglein
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