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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Fr 29.07.2005 | | Autor: | Woltan |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hey ho allerseits,
ich überleg nun schon einige zeit wie ich dieses problem lösen kann und komm nicht drauf, drum hier meine frage an euch:
Ich möchte eine Funktion schreiben, die als parameter einen anfangs- und endpunkt (2D) und einen winkel übergeben bekommt. Diese funktion soll mir dann den Mittelpunkt des entstehenden kreisesbogens zurückgeben. Also quasi so:
$\overrightarrow{M}=\overrightarrow{f}(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \phi)$
Es entsteht also ein reisabschnitt, wobei sich der radius wie folgt berechnet:
$r=\sqrt{\frac{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}{2(1-\cos\phi)}$
Hier ist der Punkt an dem ich nicht mehr weiter komme:
Ich glaub es müsste sich der Mittelpunkt über die Kreisgleichung ($r^2=(x-x_M)^2+(y-y_M)^2$) finden lassen, da ich ja zwei Punkte gegeben habe und den Radius auch kenne. Nur leider hab ich hier irgendwie einen aussetzer. Ich hoffe einer von euch kann mir da weiterhelfen, ich bin für jeden tip dankbar, und wenn mir jemand die lösung postet, dann vielleicht auch ein kleines wörtchen auf den rechenweg 
danke schonmal im vorraus
cherio Woltan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:51 Fr 29.07.2005 | | Autor: | Woltan |
Hey ho,
ich bin gerade auf die lösung gekommen
es ist schon erstaunlich wie man sich einen ganzen tag um die ohren haun kann obwohl das problem so einfach war.
und ein bisschen peinlich ist es auch
cherio
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:20 Fr 29.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Woltan!
> Es entsteht also ein Kreisabschnitt, wobei sich der radius
> wie folgt berechnet:
> [mm]r=\sqrt{\frac{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}{2(1-\cos\phi)}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Unter der Voraussetzung, daß für Deinen Winkel [mm] $\phi$ [/mm] gilt: [mm] $\phi [/mm] \ =\ [mm] \angle P_1 [/mm] M [mm] P_2$ [/mm] (also: [mm] $\phi$ [/mm] ist der Winkel am Mittelpunkt zu den beiden gegebenen Punkten = Mittelpunktswinkel).
> Ich glaub es müsste sich der Mittelpunkt über die
> Kreisgleichung ([mm]r^2=(x-x_M)^2+(y-y_M)^2[/mm]) finden lassen, da
> ich ja zwei Punkte gegeben habe und den Radius auch kenne.
Ich liefere Dir mal einen anderen Ansatz, der für [mm] $\IR^2$ [/mm] klappen sollte.
[1.] Ermittle den Vektor zwischen den beiden gegebenen Punkten [mm] $P_1$ [/mm] und [mm] $P_2$:
[/mm]
[mm] $\overrightarrow{P_1 P_2} [/mm] \ = \ [mm] \overrightarrow{OP_2} [/mm] - [mm] \overrightarrow{OP_1} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{x_2-x_1 \\ y_2-y_1}$
[/mm]
[2.] Ermittle den Höhenfußpunkt $Q$ = Mittelpunkt der Strecke [mm] $\overline{P_1 P_2}$
[/mm]
[mm] $\overrightarrow{OQ} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(\overrightarrow{OP_1} + \overrightarrow{OP_2}\right) [/mm] \ = \ [mm] \vektor{\bruch{x_1+x_2}{2} \\ \bruch{y_1+y_2}{2}}$
[/mm]
[3.] Ermittle einen Einheits-Normalenvektor [mm] $\vec{n} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{n_x \\ n_y}$ [/mm] auf den Vektor [mm] $\overrightarrow{P_1 P_2} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{x_2-x_1 \\ y_2-y_1}$ [/mm] mit:
[mm] $\vec{n}*\overrightarrow{P_1 P_2} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{n_x \\ n_y} [/mm] * [mm] \vektor{x_2-x_1 \\ y_2-y_1} [/mm] \ = \ 0$ und [mm] $\left|\vec{n}\right| [/mm] \ = \ 1$
[4.] Ermittle die Länge dieser Höhe $h_$ im Dreieck [mm] $\Delta P_1 [/mm] M [mm] P_2$:
[/mm]
[mm] $\cos\left(\bruch{\phi}{2}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{h}{r}$ $\gdw$ [/mm] $h \ = \ [mm] r*\cos\left(\bruch{\phi}{2}\right)$
[/mm]
[5.] Ermittlung der beiden möglichen Mittelpunkte [mm] $M_1$ [/mm] und [mm] $M_2$ [/mm] durch die Parametergleichung der Geraden durch die Punkte [mm] $M_1$ [/mm] und [mm] $M_2$:
[/mm]
[mm] $g_M [/mm] \ : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \overrightarrow{OQ} [/mm] + [mm] \lambda*\vec{n}$
[/mm]
[mm] $\overrightarrow{OM_1} [/mm] \ = \ [mm] \overrightarrow{OQ} \red{+} h*\vec{n}$
[/mm]
[mm] $\overrightarrow{OM_2} [/mm] \ = \ [mm] \overrightarrow{OQ} \red{-} h*\vec{n}$
[/mm]
Kommst Du damit etwas weiter?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:13 Sa 30.07.2005 | | Autor: | Woltan |
Hallo Loddar,
danke für deine Antwort, ich verstehe deinen "Ansatz" (wenn das mal nicht die lösung ist ;- ) ) wenngleich ich es anders gelöst hab. Ich poste einfach mal wie ich das gemacht habe:
Mein Ansatz fing an, dass ich beide Kreisgleichungen benutzt habe um eine Gerade durch die Beiden Schnittpunkte (falls es zwei sein, das müsste vorher überprüft werden) zu ermitteln.
[mm] $(x-x_{M1})^2+(y-y_{M1})^2=r_1^2$
[/mm]
[mm] $(x-x_{M2})^2+(y-y_{M2})^2=r_2^2$
[/mm]
Da die Mittelpunkte ja bekannt sind, ergibt sich ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten ($x$ und $y$).
Dieses nach $y$ aufgelöst, ergibt mir eine Gerade, die durch die beiden Schnittpunkte führt.
Setzt man diese Gerade nun wiederum in die Kreisgleichung für $y$ ein:
[mm] $(x-x_{M1})^2+(mx+c-y_{M1})^2=r_1^2$
[/mm]
Dies ist nun ein Gleichungssystem mit einer unbekannten und kann geklöst werden.
Danke aber trozdem für deinen Weg Loddar, ich glaub ich werd aber bei meinem bleiben ;- )
cherio Woltan
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