Winkel: Normale - Fläche < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Sa 28.11.2009 | | Autor: | babapapa |
| Aufgabe | | Berechne die Winkel zwischen den Koordinatenachsen und der Normalen an die Fläche [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - xz - yz = 0 an der Stelle x = 0, y = 2! |
Hallo!
Nun die Fläche ist implizit durch die Gleichung g (x,y,z) = 0 gegeben. Die Funktion ist auch differenzierbart =>
Gradient ist der Normalvektor (nicht normiert)
[mm] \nabla [/mm] g(x,y,z) = [mm] \vektor{\bruch{\partial g}{\partial x} \\ \bruch{\partial g}{\partial y} \\ \bruch{\partial g}{\partial z}} [/mm] = [mm] \vektor{2x - z \\ 2y - z \\ -x - y}
[/mm]
Nun muss ich die Stelle x=0, y = 2 mit einbeziehen -> z kommt im 3ten Term nicht vor - wenn doch müsste ich z = 0 annehmen? (FRAGE)
meine funktion ist ja [mm] \IR^3 [/mm] -> [mm] \IR [/mm] (![[]](/images/popup.gif) WIKIPEDIA)...
oder muss ich hier wie nach wiki vorgehen:
[mm] \nabla [/mm] f(x,y) = [mm] \vektor{- \bruch{\partial g}{\partial x} \\ - \bruch{\partial g}{\partial y} \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{2x - z \\ 2y - z \\ 1}
[/mm]
=>
[mm] \nabla [/mm] f(0,2) = [mm] \vektor{2 * 0 - 1 \\ 2 * 2 - 1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 3 \\ 1}
[/mm]
Der Winkel zwischen den Vektoren sollte dann ein Kinderspiel sein:
[mm] cos(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{a * b}{|a| * |b|}
[/mm]
wobei a = {{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1}} - Koordinatenachsen
und b der Gradient ist.
Dankeschön!
lg
Babapapa
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Hallo babapapa,
> Berechne die Winkel zwischen den Koordinatenachsen und der
> Normalen an die Fläche [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] - xz - yz = 0 an der
> Stelle x = 0, y = 2!
> Hallo!
>
>
> Nun die Fläche ist implizit durch die Gleichung g (x,y,z)
> = 0 gegeben. Die Funktion ist auch differenzierbart =>
>
> Gradient ist der Normalvektor (nicht normiert)
>
> [mm]\nabla[/mm] g(x,y,z) = [mm]\vektor{\bruch{\partial g}{\partial x} \\ \bruch{\partial g}{\partial y} \\ \bruch{\partial g}{\partial z}}[/mm]
> = [mm]\vektor{2x - z \\ 2y - z \\ -x - y}[/mm]
>
> Nun muss ich die Stelle x=0, y = 2 mit einbeziehen -> z
> kommt im 3ten Term nicht vor - wenn doch müsste ich z = 0
> annehmen? (FRAGE)
Den Wert von z ermittelst Du aus der Gleichung der Fläche.
>
> meine funktion ist ja [mm]\IR^3[/mm] -> [mm]\IR[/mm]
> (WIKIPEDIA)...
>
> oder muss ich hier wie nach wiki vorgehen:
> [mm]\nabla[/mm] f(x,y) = [mm]\vektor{- \bruch{\partial g}{\partial x} \\ - \bruch{\partial g}{\partial y} \\ 1}[/mm]
> = [mm]\vektor{2x - z \\ 2y - z \\ 1}[/mm]
> =>
> [mm]\nabla[/mm] f(0,2) = [mm]\vektor{2 * 0 - 1 \\ 2 * 2 - 1 \\ 1}[/mm] =
> [mm]\vektor{-1 \\ 3 \\ 1}[/mm]
>
Nachdem Du den Wert von z ermittelt hast,
setzt Du die entsprechenden Werte in den Gradienten ein.
>
>
> Der Winkel zwischen den Vektoren sollte dann ein
> Kinderspiel sein:
>
> [mm]cos(\alpha)[/mm] = [mm]\bruch{a * b}{|a| * |b|}[/mm]
> wobei a =
> {{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1}} - Koordinatenachsen
> und b der Gradient ist.
>
>
> Dankeschön!
>
> lg
> Babapapa
>
Gruss
MathePower
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