Winkel eines Dreiecks in R3 < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Jolle |
| Aufgabe | | Berechnen Sie Seitenlängen und Winkel des Dreiecks im R3 mit den Eckpunkten A = (0; 1; 1), B = (1; 2; 1) und C = (1; 0; 3). |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Community,
Ich bin gerade dabei die oben gestellte Frage zu lösen.
Mein LösungsAnsatz:
[mm] \overline{AB} [/mm] = [mm] \overline{0B} [/mm] - [mm] \overline{0A} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 1\\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] \overline{BC} [/mm] = [mm] \overline{0C} [/mm] - [mm] \overline{0B} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 3} [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ 2\\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -2 \\ 2}
[/mm]
[mm] \overline{CA} [/mm] = [mm] \overline{0A} [/mm] - [mm] \overline{0C} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ 0\\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ -2}
[/mm]
[mm] |\overline{AB}| [/mm] = [mm] \wurzel[]{1^2 + 1^2 + 0^2} [/mm] = [mm] \wurzel[]{2}
[/mm]
[mm] |\overline{BC}| [/mm] = [mm] \wurzel[]{0^2 + (-2)^2 + 2^2} [/mm] = 2 [mm] \wurzel[]{2}
[/mm]
[mm] |\overline{CA}| [/mm] = [mm] \wurzel[]{(-1)^2 + 1^2 + (-2)^2} [/mm] = [mm] \wurzel[]{6}
[/mm]
[mm] \overline{AB} [/mm] * [mm] \overline{CA} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] * [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ -2} [/mm] = -1 * 1 = 0
[mm] \overline{BC} [/mm] * [mm] \overline{AB} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -2 \\ 2} [/mm] * [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ -2} [/mm] = -2 * 0 = -2
[mm] \overline{BC} [/mm] * [mm] \overline{CA}| [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -2 \\ 2} [/mm] * [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ -2} [/mm] = -2 + -4 = -6
cos [mm] (\alpha) [/mm] = [mm] \overline{AB} [/mm] * [mm] \overline{CA} [/mm] / [mm] |\overline{AB}| [/mm] * [mm] |\overline{CA}| [/mm] = 0 / [mm] \wurzel[]{2} [/mm] * [mm] \wurzel[]{6} [/mm] = 0 = 90 grad
cos [mm] (\beta) [/mm] = [mm] \overline{BC} [/mm] * [mm] \overline{AB} [/mm] / [mm] |\overline{BC}| [/mm] * [mm] |\overline{AB}| [/mm] = -2 / 2 [mm] \wurzel[]{2} [/mm] * [mm] \wurzel[]{2} [/mm] = -0,5 = 120 grad
cos [mm] (\gamma) [/mm] = [mm] \overline{BC} [/mm] * [mm] \overline{CA} [/mm] / [mm] |\overline{BC}| [/mm] * [mm] |\overline{CA}| [/mm] = -6 / [mm] 2\wurzel[]{2} [/mm] * [mm] \wurzel[]{6} [/mm] = -0.866= 149,99 grad
Das ergibt ja zusammen keine 180 grad. Wo liegt da genau mein Fehler in der Berechnung ?
Vielen Dank für die Hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Sa 27.10.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Berechnen Sie Seitenlängen und Winkel des Dreiecks im R3
> mit den Eckpunkten A = (0; 1; 1), B = (1; 2; 1) und C = (1;
> 0; 3).
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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> Hallo Community,
Hallo
>
> Ich bin gerade dabei die oben gestellte Frage zu lösen.
>
> Mein LösungsAnsatz:
>
> [mm]\overline{AB}[/mm] = [mm]\overline{0B}[/mm] - [mm]\overline{0A}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\
2 \\
1}[/mm]
> - [mm]\vektor{0 \\
1\\
1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\
1 \\
0}[/mm]
>
> [mm]\overline{BC}[/mm] = [mm]\overline{0C}[/mm] - [mm]\overline{0B}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\
0 \\
3}[/mm]
> - [mm]\vektor{1 \\
2\\
1}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\
-2 \\
2}[/mm]
>
> [mm]\overline{CA}[/mm] = [mm]\overline{0A}[/mm] - [mm]\overline{0C}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\
1 \\
1}[/mm]
> - [mm]\vektor{1 \\
0\\
3}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\
1 \\
-2}[/mm]
>
>
> [mm]|\overline{AB}|[/mm] = [mm]\wurzel[]{1^2 + 1^2 + 0^2}[/mm] =
> [mm]\wurzel[]{2}[/mm]
>
>
> [mm]|\overline{BC}|[/mm] = [mm]\wurzel[]{0^2 + (-2)^2 + 2^2}[/mm] = 2
> [mm]\wurzel[]{2}[/mm]
>
>
> [mm]|\overline{CA}|[/mm] = [mm]\wurzel[]{(-1)^2 + 1^2 + (-2)^2}[/mm] =
> [mm]\wurzel[]{6}[/mm]
>
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> [mm]\overline{AB}[/mm] * [mm]\overline{CA}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\
1 \\
0}[/mm] *
> [mm]\vektor{-1 \\
1 \\
-2}[/mm] = -1 * 1 = 0
>
> [mm]\overline{BC}[/mm] * [mm]\overline{AB}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\
-2 \\
2}[/mm] *
> [mm]\vektor{-1 \\
1 \\
-2}[/mm] = -2 * 0 = -2
>
> [mm]\overline{BC}[/mm] * [mm]\overline{CA}|[/mm] = [mm]\vektor{0 \\
-2 \\
2}[/mm] *
> [mm]\vektor{-1 \\
1 \\
-2}[/mm] = -2 + -4 = -6
>
>
> cos [mm](\alpha)[/mm] = [mm]\overline{AB}[/mm] * [mm]\overline{CA}[/mm] /
> [mm]|\overline{AB}|[/mm] * [mm]|\overline{CA}|[/mm] = 0 / [mm]\wurzel[]{2}[/mm] *
> [mm]\wurzel[]{6}[/mm] = 0 = 90 grad
>
>
> cos [mm](\beta)[/mm] = [mm]\overline{BC}[/mm] * [mm]\overline{AB}[/mm] /
> [mm]|\overline{BC}|[/mm] * [mm]|\overline{AB}|[/mm] = -2 / 2 [mm]\wurzel[]{2}[/mm] *
> [mm]\wurzel[]{2}[/mm] = -0,5 = 120 grad
>
>
> cos [mm](\gamma)[/mm] = [mm]\overline{BC}[/mm] * [mm]\overline{CA}[/mm] /
> [mm]|\overline{BC}|[/mm] * [mm]|\overline{CA}|[/mm] = -6 / [mm]2\wurzel[]{2}[/mm] *
> [mm]\wurzel[]{6}[/mm] = -0.866= 149,99 grad
>
>
> Das ergibt ja zusammen keine 180 grad. Wo liegt da genau
> mein Fehler in der Berechnung ?
Bei den Winkeln musst du die Richtung der Vektoren beachten.
[mm] \cos(\alpha)=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|}
[/mm]
[mm] \cos(\beta)=\frac{|\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{BA}|\cdot|\overrightarrow{BC}|}
[/mm]
[mm] \cos(\gamma)=\frac{|\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}|}{|\overrightarrow{CA}|\cdot|\overrightarrow{CB}|}
[/mm]
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> Vielen Dank für die Hilfe
>
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:31 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Jolle |
Natürlich :)
Vielen Dank!
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