Winkel und Diagonalen in Raute < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Der Inkreisradius eines Rhombus mit 15cm Seitenlänge beträgt 6.5cm. Berechnen Sie die Winkel und die Länge der Diagonalen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bin mir nicht so ganz sicher ob ich hier richtig bin, es geht um Trigonometrie, aber eigentlich nicht um Trigonometrische Funktionen... wenn falsch, bitte verschieben.
Leider fehlt mir so ziemlich die Grundlage, wie ich das Lösen kann. Ich sehe leider die Verbindung nicht zwischen dem Inkreisradius und den Winkeln und Längen der Diagonale. Ich denke, dass sich dies mit Hilfe von Sinus und Kosinus berechnen lässt, jedoch ists hier schon vorbei mit meinem Latein.
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:41 Do 25.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo musicjunkie und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Zeichne dir einmal eine Raute (Raute=Rhombus) auf, nur als Skizze, Seitenlängen egal.
Es müssen einfach nur alle 4 Seiten gleich lang sein.
Nun zeichne die beiden Diagonalen ein. Du wirst sehen, daß die rechtwinklig aufeinender stehen.
Jetzt versuche, durch Probieren mit dem Zirkel einen Inkreis einzuzeichnen.
Der Inkreis muß alle 4 Seiten von innen berühren und wegen der Symmetrie der Figur muß der Mittelpunkt des Inkreises auf dem Schnittpunkt der Diagonalen liegen.
Wenn du diese Skizze hast, dann zeichne den Radius des Inkreises ein, indem du den Schnittpunkt der Diagonalen genau mit einem Punkt verbindest, in dem der Inkreis eine Rautenseite berührt.
Diese Rautenseite ist eine Tangente an den Kreis. Der eingezeichnete Berührradius steht also auch senkrecht auf ihr.
Wir betrachten nun das rechtwinklige Dreieck, in dem der eingezeichnete Radius liegt und dessen Katheten die halben Diagonalen und dessen Hypotenuse eine Rautenseite ist.
Wir bezeichnen jetzt die Längen dieser Katheten mit a und b
und die Länge des Radius (der in diesem Dreieck ja die Höhe darstellt) mit h. h ist hier 6,5.
Die Länge der Hypotenuse nennen wir c. c ist hier 15.
Zeichne dieses Dreieck jetzt bitte noch einmal ganz getrennt ab und schau es dir genau an.
Denk dabei an die Sätze des Euklid: [mm] $a^2 [/mm] = p * c$ und [mm] $b^2 [/mm] = q * c$ und [mm] $h^2 [/mm] = p * q$
p und q sind die Hypotenusenabschnitte von c rechts und links von der Höhe h.
Damit schaffst du es leicht, die Längen a und b zu berechnen. Die Winkel sind dann sehr einfach mit den üblichen trigonometrischen Formeln im rechtwinkligen Dreieck zu erhalten.
Wenn du weitere Hilfe brauchst, poste deine Lösungsansätze.
Gruß
Will
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Erst mal vielen Dank für deine ausführliche Anleitung!
Was vielleicht noch erwähnenswert wäre, das Thema Trigonometrie wurde bei uns erst eben begonnen, mir fehlen also sämtliche Grundlagen, ausser Sinos, Kosinus und Co.! Nur die hab ich leider auch noch nicht so zu 100% geschnallt ^^!
Also, bei deiner Anleitung bin ich mitgekommen bis zum Punkt mit den Sätzen des Euklid, davon hab ich noch nie was gehört! Und ich denke auch, dass ich diese zur Lösung der Aufgabe nicht unbedingt benötige, müsste auch sonst irgendwie lösbar sein, nicht?
Wichtig, Sinus/Kosinus muss verwendet werden!
Wenn ich mir das Dreieck ansehe, erkenne ich da einen rechten Winkel h auf c, h hab ich ja, brauchen tu ich a, also, Pythagoras mit h und dem einen Hypothenusenabschnitt von c! c hab ich, nur wie gross ist der Hypothenusenabschnitt den ich da brauche? Ich hoffe, ihr kommt bei diesen Ausführungen nach...
Ich denke mal, auf die Länge von diesem Abschnitt komm ich eben irgendwie durch die Formeln die du mir da aufgeschrieben hast (von welchen ich noch nie gehört hab)! Nur, wenn ich das so mache, kriegt ich ja dann wohl die Hypothenusenabschnitte raus, hab ich die Lösung ja dann also mit Hilfe vom Pythagoras und benötige Sinus/Kosinus nicht! Dies KANN fast nicht so gemeint sein, da die Aufgabe laut Lehrer Sinus/Kosinus benötigt (so wie ich das verstanden hab)!
Hmm, gibts da ne Möglichkeit ohne dieses Euklid und mit Sinus/Kosinus?
Vielen vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 Do 25.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo nochmal,
für die Berechnung der Diagonalenlängen brauchst du ganz sicher keine Trigonometrie.
Die brauchst du dann allerdings für die geforderte Berechnung der Winkel.
Darauf bin ich nicht sonderlich eingegangen, weil es so extrem einfach ist, wenn du die Diagonalen erst hast.
Wenn du die euklidischen Sätze nicht kennst, macht nichts:
Das große besprochene Dreieck wird durch die Höhe in 2 kleine Dreiecke geteilt.
Stelle für das große und beide kleinen Dreiecke den Satz des Pathagoras auf. Wenn wir die Hypotenusenabschnitte p und q nennen gilt außerdem p+q=15.
Mit diesen Gleichungen kannst du dann a und b ermitteln.
Das ist nicht ganz einfach, aber versuch es mal.
Gruß
Will
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Hmmmmmmmm.......
also, Pythagoras vom Grossen
[mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = [mm] c^2
[/mm]
[mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = [mm] (p+q)^2
[/mm]
Pythagoras der kleinen
[mm] a^2 [/mm] + [mm] p^2 [/mm] = [mm] h^2
[/mm]
[mm] b^2 [/mm] + [mm] q^2 [/mm] = [mm] h^2
[/mm]
h ist bei beiden das Resultat, also gleichsetzen
[mm] a^2 [/mm] + [mm] p^2 [/mm] = [mm] b^2 [/mm] + [mm] q^2
[/mm]
[mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] + [mm] p^2 [/mm] + [mm] q^2 [/mm] = [mm] h^2
[/mm]
[mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] + [mm] p^2 [/mm] + [mm] q^2 [/mm] = 84.5
Da ich hier nun schon anstehe, da sämtliche Angaben Unbekannt sind, denke ich mal, dass das der falsche Ansatz ist!
hmmm...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 Do 25.10.2007 | | Autor: | koepper |
> Hmmmmmmmm.......
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> also, Pythagoras vom Grossen
> [mm]a^2[/mm] + [mm]b^2[/mm] = [mm]c^2[/mm]
gut, aber du kannst für c direkt 15 einsetzen.
Obwohl eine allgemeine Lösung eigentlich vorzuziehen ist, schlage ich vor, zugunsten deiner Übersicht alle bekannten Variablen direkt mit den Werten zu belegen.
> [mm]a^2[/mm] + [mm]b^2[/mm] = [mm](p+q)^2[/mm]
ok, aber brauchen wir nicht.
>
> Pythagoras der kleinen
> [mm]a^2[/mm] + [mm]p^2[/mm] = [mm]h^2[/mm]
> [mm]b^2[/mm] + [mm]q^2[/mm] = [mm]h^2[/mm]
leider nicht, schau noch einmal hin, was hier die Katheten und was Hypotenuse ist.
> h ist bei beiden das Resultat, also gleichsetzen
das wäre strategisch ungünstig, denn wenn du nach h gleichsetzt verlierst du Information.
h ist ja bekannt.
Durch Gleichsetzen wirfst du Variablen hinaus, und das solltest du natürlich nur mit Unbekannten machen.
Schau dir auch bitte mal den Quelltext meiner Formeln an, dann siehst du, wie du sie einfacher eingeben kannst:
Einfach die komplette Formel zwischen 2 Dollar-Zeichen setzen.
Gruß
Will
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Alles klar, geb sie in Zukunft mit 2 $ ein!
[mm] $a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = [mm] 15^2$
[/mm]
fehler verbessert
[mm] $h^2 [/mm] + [mm] q^2 [/mm] = [mm] b^2$
[/mm]
[mm] $h^2 [/mm] + [mm] p^2 [/mm] = [mm] a^2$
[/mm]
h kenne ich, also einsetzen
[mm] $6.5^2 [/mm] + [mm] q^2 [/mm] = [mm] b^2$
[/mm]
[mm] $6.5^2 [/mm] + [mm] p^2 [/mm] = [mm] a^2$
[/mm]
so, und nun häng ich wieder mal ^^
was man noch sagen kann
[mm] $a^2 [/mm] = [mm] 15^2 [/mm] - [mm] b^2$
[/mm]
somit auch
[mm] $6.5^2 [/mm] + [mm] p^2 [/mm] = [mm] 15^2 [/mm] - [mm] b^2$
[/mm]
aber irgendwie seh ich darin auch keine Lösung... vermutlich sinnlose Formeln die ich hier jetzt aufstelle... aber seh da jetz echt keinen Weg drinn...
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Hallo, du schaffst es, du hast 3 Gleichungen aber 4 Unbekannte, kümmern wir uns also um eine weitere Information, die koepper dir schon mitgeteilt hat, q+p=15, also p=15-q
1. Gleichung: [mm] 15^{2}=a^{2}+b^{2}
[/mm]
2. Gleichung: [mm] b^{2}=6,5^{2}+q^{2}
[/mm]
3. Gleichung: [mm] a^{2}=6,5^{2}+p^{2}
[/mm]
jetzt setze in die 3. Gleichung für p den Term 15-q ein, jetzt sind es drei Gleichungen mit drei Unbekannten.
Noch ein Hinweis, beachte die binomische Formel.
Steffi
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also
1. Gleichung: $ [mm] 15^{2}=a^{2}+x^{2} [/mm] $
2. Gleichung: $ [mm] b^{2}=6,5^{2}+q^{2} [/mm] $
3. Gleichung: [mm] $a^{2}=6,5^{2}+(15 [/mm] - [mm] q)^{2}$
[/mm]
ich bin echt nicht der hellste... was sowas anbelangt... hänge nämlich schon wieder! was denn nun?
jetz muss ich die Terme irgendwie verbinden... kA...
du sagst, ich solle binome beachten... na dann
3. Gleichung: [mm] $a^{2}=6,5^{2}+15^2 [/mm] - 30q + [mm] q^2$
[/mm]
und nun? bringt mich leider nicht weiter :(
vielleicht noch zur info, hatte nie irgendwas mit 3 unbekannten! und selbst wie das mit den 2 unbekannten ging ist mir nicht so present momentan...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Do 25.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hi,
ich hatte dir zur vorhergehenden Frage noch eine Antwort geschrieben.
Schau mal, vielleicht ist das übersichtlicher für dich.
Gruß
Will
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:04 Do 25.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> [mm]a^2 + b^2 = 15^2[/mm]
gut.
> [mm]6.5^2 + q^2 = b^2[/mm]
> [mm]6.5^2 + p^2 = a^2[/mm]
mit diesen beiden Gleichungen für [mm] $a^2$ [/mm] und für [mm] $b^2$ [/mm] in die erste einsetzen.
Danach q = 15 - p ersetzen.
Dann ist nur noch p drin.
Dann vereinfachen und quadratische Gleichung lösen.
Gruß
Will
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$ [mm] 6.5^2 [/mm] + [mm] p^2 [/mm] + [mm] 6.5^2 [/mm] + [mm] (15-p)^2 [/mm] = [mm] 15^2 [/mm] $
$42.25 + 42.25 + [mm] p^2 [/mm] + 225 - 30p + [mm] p^2 [/mm] = [mm] 15^2$
[/mm]
[mm] $2p^2 [/mm] -30p + 309.5 = [mm] 15^2$
[/mm]
[mm] $2p^2 [/mm] -30p = -84.5$
und jetzt?
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Hallo, jetzt mache daraus [mm] 2p^{2}-30p+84,5=0, [/mm] du hast eine quadratische Gleichung in p, jetzt gibt es doch eine (zwei) Lösungsformel(n),
Steffi
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ja das hab ich mir auch überlegt... nur irgendwie....
$ [mm] 2p^{2}-30p+84,5=0 [/mm] $
hab ich kein plan wie ich davon auf p = ? komme...
war das das mit dieser komischen lösungsformel?
sry, wenn ich euch hier langsam auf die Nerven geh, doch ich steh hier echt am berg...
edit: ouuuh, du schreibst ja sogar es ist das mit dieser lösungsformel... na suuuper... als ob die jemand auswendig könnte...
*maldanachsuch*
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Hallo, es gibt doch aber nur schöne Lösungsformeln
[mm] 2p^{2}-30p+84,5=0
[/mm]
[mm] p^{2}-15p+42,25=0
[/mm]
jetzt ersetze ich mal p durch x, damit du nicht durcheinander kommst
[mm] x^{2}-15x+42,25=0
[/mm]
p=-15
q=42,25
[mm] x_1_2=-\bruch{p}{2}\pm\wurzel{\bruch{p^{2}}{4}-q}
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] sind dann deine Teillängen der Seite die mit 15cm gegeben ist, dann kannst du wieder mit p weitermachen,
Steffi
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wenn ich mich nicht täusche gabs da doch noch die möglichkeit mit soner ergänzung... quadratische ergänzung... wie ging das nochmals? hmm...
$ [mm] 2p^{2}-30p+84,5=0 [/mm] $
mein gott... irgendwie hab ich grad das totaaale blackout...
gibts nicht ne lösung ohne diese formeln?
zurück zu deiner lösung...
warum kommst du für p und q jetzt auf -15 resp. 42.25? ich suche p und q, und diese müssen zusammen 15 ergeben! hast du jetz einfach nur die variablen unglücklich gewählt? jedenfalls kommt bei mir dieses klick-geräusch irgendwie nicht...
edit: okee, dieses p und dieses q kann ja nciht meinem entsprechen, ich vermute, dass sind einfach die 2 variablen die normalerweise in der lösungsformel verwendet werden
$ [mm] x^{2}-15x+42,25=0 [/mm] $
p=-15
q=42,25
$ [mm] x_1_2=-\bruch{p}{2}\pm\wurzel{\bruch{p^{2}}{4}-q} [/mm] $
also
x1 = 11.24
x2 = 3.76
somit hab ich 2 lösungen
p1 = 11.24
q1 = 3.76
und
p2 = 3.76
q1 = 11.24
könnte das soweit stimmen?
das schlimme daran, das ganze muss ich morgen meiner klasse erklären.....
fehlen noch die winkel... ich probiers mal...
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Hallo, koepper hat ja vorhin die Abschnitte der Seite mit der Länge von 15cm mit p und q bezeichnet, jetzt kommt es unglücklicherweise zur Überschneidung, da in der Lösungsformel auch p und q benutzt wird, darum habe ich die Gleichung mit der Variable x geschrieben, wenn du es möchtest bezeichne die Abschnitte der Seite 15cm mit x und y, wie man sie beschriftet ist ja eigentlich egal, nun setzte die Zahlen -15 und 42,25 in die Lösungsformel ein, das ist absolut kein mathematischer Hit, ich empfand diesen Weg immer einfacher, als über die quadratische Ergänzung zu gehen (sicherlich Geschmacksache), [mm] -\bruch{p}{2}=-\bruch{-15}{2}=7,5 [/mm] ist ja wohl schon im Kopf lösbar, nicht verzagen, wir schaffen das!!!
PS ich sehe gerade, du hast die Zahlenwerte der Seite mit 15cm berechnet, stimmen, KLASSE,
Steffi
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bzw. nein, sry, hab da n durcheinander, bin ja noch gar nicht am schluss...
also ich krieg aus der lösungsformel die 2 x-werte, welche ja dann für p und q (also MEINE p und q, nicht die aus der formel ^^) stehen...oder?
p = 11.24
q = 3.76
also
[mm] $p^2 [/mm] + [mm] h^2 [/mm] = [mm] a^2$
[/mm]
[mm] $11.24^2 [/mm] + [mm] 6.5^2 [/mm] = [mm] a^2$
[/mm]
$a = 12.98$
[mm] $q^2 [/mm] + [mm] h^2 [/mm] = [mm] b^2$
[/mm]
[mm] $3.76^2 [/mm] + [mm] 6.5^2 [/mm] = [mm] a^2$
[/mm]
$b = 7.5$
jetz brauch ich aber die Diagonale
also
$e = 2*a$
$e = 25.96$
$f = 2*b$
$f = 15$
hmmm, das könnt sogar stimmen...
also noch die winkel... da ist jetzt wieder mein halbwissen das problem... ich probier mir das mal selbst zu erklären... und schreibs dann als weitere frage rein, wenn ich was hab...
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Hallo auch das stimmt jetzt noch die Winkel, Steffi
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So, und genau da häng ich jetzt wieder! grrrr....
also ich hab da jetz nen rechtwinkliges dreieck, möchte den winkel [mm] \alpha [/mm] finden (winkel zwischen b und c), hab ne
ankathete b = 13
hypothenuse c = 15
gegenkathete a = 7.5
also, denk ich mal, alles nötige, dass ich dazu brauche... nur, was tu ich jetzt?
ich kenn da die definitionen
[mm] \sin \alpha [/mm] = [mm] \bruch{Gegenkathete}{Hypotenuse}
[/mm]
[mm] \cos \alpha [/mm] = [mm] \bruch{Ankathete}{Hypotenuse}
[/mm]
[mm] $\tan \alpha [/mm] = [mm] \bruch{Gegenkathete}{Ankathete}
[/mm]
Nur irgendwie hilft mir das nicht weiter...
ich nehm jetzt einfach mal sin
Gegenkathete / Hypotenuse
[mm] $\bruch{7.5}{15}$
[/mm]
daraus folgt
$sin [mm] \alpha [/mm] = 0.5$
und was bringt mir das nun?
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Hallo, das bringt dir doch enorm viel sin( [mm] \alpha [/mm] )=0,5, ist auch korrekt, [mm] \alpha= [/mm] ..., benutze auf deinem Tascherechner die SHIFT-Taste, du bekommst den Winkel, eventuell weißt du ihn ja auch, ansonsten merken, ein typischer Winkel, bedenke aber diesen Winkel dann zu verdoppeln, das ist ja nur der Winkel im Dreieck, den anderen Winkel der Raute dann nicht vergessen.
Ich habe dir mal eine Skizze gemacht, du hast ja vorhin für [mm] p_1=11,24cm [/mm] und [mm] p_2=3,76cm [/mm] erhalten, du hast also zwei Rauten, ist aber rechnerisch nur eine Raute, rote und hellblaue, die gespiegelt wird, sicherlich findest du die Symmetrieachse!!!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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du meinst diesese sin hoch minus 1?
hab kein taschenrechner hier der sowas beherrscht... geht das irgendwie im windows taschenrechner?
das wär ja dann so, dass das sozusagen der "gegenwert" (ist sicher das falsche wort dafür) zum winkel ist, sprich, mit sin [mm] (\alpha) [/mm] krieg ich den sinus-wert, mit dem umgekehrten (also eben das mit der weiteren taste) krieg ich wieder den winkel? hab ich das jetzt richtig kombiniert ^^?
vielen dank für die skizze, hab nur kein plan wozu ich da jetzt ne symmetrie-achse finden soll (wo sie ist ist ja klar, nur was bringt mir das?)!
also, hab jetzt mal in die lösungen geschaut... ich hab da drin stehen der eine winkel sei 60.1° der andere 119.9°! naja, ich nehm da mal 60 und 120!
also die hälfte von 60° -> 30°, davon sinus.... tadaaaa -> 0.5
naja, so gaaanz schlau bin ich daraus noch nicht geworden, aber es scheint ja schon mal zu stimmen ^^! ohne dieses umgekehrte sinus-teil gehts nicht?
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vielen dank
wenn das so ist, kannst du mir sagen wie ich das auf windows-taschenrechner hinkrieg? dieses "umgekehrte sinus"?
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Hallo, sicherlich hat dein Computer einen Taschenrechner, ich bin jetzt mal über die Hilfe gegangen, um ihn zu finden, ich benutze ihn sonst eigentlich nicht, bedenke aber die Einstellung "wissenschaftlich" über die Ansicht einzustellen, 0,5 eingeben "Inv" dann "sin", ihr dürft doch aber wohl in der Schule einen Taschenrechner verwenden, ich denke du bist 10. Gymnasium, dann krame die Beschreibung deines Taschenrechners hervor, ein Rechner der über die Winkelfunktionen verfügt, kann auch invers rechnen!!!
Steffi
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vielleicht war das ein bisschen unklar, sorry :P! Natürlich hab ich nen rechner, der sowas kann, hab das auch schon benutzt, mir war nur nicht so ganz klar wie das funzt!
nur hab ich den IM MOMENT nicht hier, da ich hier nur nen pc hab! und da gäbs den windows taschenrechner, starten mit
windowstaste+r und dann "calc" eingeben!
wissenschaftliche ansicht, hab ich! nur diese kleine kästchen "inv" ist mir bisher entgangen ^^!
soo, dann wär das ja gelöst! jetzt muss ich das ganze lediglich noch in geogebra lösen und jeden schritt peinlich genau aufschreiben und das morgen meiner klasse verklickern... naja, gibt wohl noch arbeit heute abend ^^! bin übrigens nicht in der 10. aber hier gibts keine abteilung für berufsschulen, deshalb dacht ich mir, hier wirds schon richtig sein :p!
nochmals allen herzlichen dank, fürs helfen :D! wenn mir doch nochmal was unklar sein sollte, werd ich mich sicher wieder melden ^^!
greets musicjunkie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Do 25.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
im Windows-Rechner mußt du die Checkbox "Inv" am ganz linken Rand recht weit oben anklicken.
Gruß
Will
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 Do 25.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo steffi,
die Skizze ist wirklich schön, aber ich fürchte fast, sie könnte verwirrend wirken.
Einfach wäre es vielleicht zu erklären, daß man mit beiden errechneten Werten für p auf genau die selben Werte für die Diagonalen a und b kommt, nur eben vertauscht.
Auch wenn man mit q = 15 - p das Paar (p,q) für beide Werte von p betrachtet sieht man, daß es bis auf Vertauschung die selben sind.
LG
Will
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:36 Fr 26.10.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Mein Gott, das ist ja ein langer Thread geworden.
Deshalb hatte ich gleich zu Anfang geschrieben, dass man am besten erst mal eine Zeichnung macht und darin alle gegebenen und gesuchten Größen beschriftet. Dann hätte man viel leichter erkennen können, um was es hier überhaupt geht und wie man Schritt für Schritt zur Lösung kommt.
Na ja, nun ist wenigsten eine Zeichnung da wobei die Doppel-Raute eher verwirrt.
Warum sowohl die Abschnitte eines Dreiecks als auch die Variablen einer quadratischen Gleichung üblicherweise mit p und q bezeichnet werden, das weiß der Henker.
Es ist aber ziemlich verwirrend, in einer und derselben Aufgabe für zwei unterschiedliche Größen ein und denselben Buchstaben zu verwenden, wie hier geschehen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:47 Do 25.10.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Ich weiß zwar auch nicht die Lösung, aber ich würde folgndermaßen an die Sache rangehen:
Zeichne den Rhombus mit der gegebenen Seitenlänge.
Dann zeichne einen Innenkreis mit (angenommenen) 6.5 cm
Dann notiere die gegebenen Werte.
Schau als nächstes, ob es irgendwo rechte Winkel gibt oder trigonometrische Beziehungen (Sinus, Kosinus, Tangens).
So sollte man den Winkel und die Diagonalen rauskriegen können.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:59 Do 25.10.2007 | | Autor: | koepper |
Wir betrachten eines der rechtwinkligen Dreiecke, die sich durch die beiden Diagonalen und eine Rautenkante ergeben.
Nach Pythagoras gilt:
(1) [mm] $6.5^2 [/mm] + [mm] p^2 [/mm] = [mm] a^2$
[/mm]
(2) [mm] $6.5^2 [/mm] + [mm] q^2 [/mm] = [mm] b^2$
[/mm]
(3) [mm] $a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = [mm] 15^2$
[/mm]
außerdem ist
(4) $p + q = 15$
Zuerst (1) und (2) in (3) einsetzen:
[mm] $6.5^2 [/mm] + [mm] p^2 [/mm] + [mm] 6.5^2 [/mm] + [mm] q^2 [/mm] = [mm] 15^2$
[/mm]
Jetzt mit (4) q ersetzen durch 15 - p.
Alles auflösen ergibt:
[mm] $2p^2 [/mm] - 30p + 84.5 = 0$
Durch 2 teilen und pq-Formel anwenden:
[mm] $p_{1,2} [/mm] = 7.5 [mm] \pm \sqrt{7.5^2 - 42.25}$
[/mm]
$p [mm] \approx [/mm] 3.758342613 [mm] \vee [/mm] p [mm] \approx [/mm] 11.24165739$
einsetzen ergibt:
$a [mm] \approx [/mm] 12.98556355$ und $b [mm] \approx [/mm] 7.508337978$ oder umgekehrt, je nach Wahl von p.
Die Diagonalen sind dann je doppelt so lang.
Für einen Winkel [mm] $\phi$ [/mm] dieses Dreiecks mit den Katheten a und b gilt [mm] $\tan \phi [/mm] = [mm] \frac{a}{b}.$
[/mm]
Damit ist ein Winkel [mm] $\phi \approx [/mm] 59.96321743°$
Die beiden Innenwinkel der Raute sind also [mm] $\alpha \approx [/mm] 119.9264349$ und [mm] $\beta \approx [/mm] 60.07356514$
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![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]"){kind=small}
