Winkel und Sinus etc < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Umfrage) Beendete Umfrage  | | Datum: | 00:56 Fr 12.09.2014 | | Autor: | felixn |
Ich hoffe diese Frage wurde bisher nicht gestellt, habe aber leider auch nicht bei meiner Internetrecherche gefunden, worauf ich hinauswill:
Also mein Problem ist folgendes: Ich habe 0 Probleme mit den vorgegebenen Rechenoperationen, Formeln oder Ähnlichem sie anzuwenden, aber ich möchte zu 100% verstehen, wie man zu den einzelnen Formeln kam bzw kommt. D.h. ich möchte nachvollziehen wie die Mathematiker vor 100-bis ka wie viel Jahren ihre Gesetze entwickelt haben.
Mein Problem ist nun, ich wollte verstehen wie man den Sinus herleitet, die dazugehörige Folge/Summe wie auch immer in allgemeiner Form habe ich gefunden, also habe ich ein wenig weiter gedacht und kam auf den Winkel.
Der Winkel ist wenn ich drüber nachdenke eigentlich ja wenn man von einer Konstanten funktion bsp. y=0 als gerade ausgeht von irgendeinem beliebigen Punkt das Verhältnis einer Geraden die diesen Punkt schneidet und angibt in welche Richtung diese Gerade aus dem Punkt im Verhältnis zur gerade y=0 sich entfernt.
also gehen wir davon aus y=0 geht von x0-x10.
und die zweite gerade y=1x geht aus dem Punkt (0/0) hervor.
der Winkel dazwischen ist 45°. die steigung ist = 1
D.h. hier ist ja ein eindeutiges verhältnis dieser beiden strecken zueinander
auch durch den Winkel entstanden, vllt seh ich das auch falsch.
Jedenfalls finde ich hierzu nicht die Definition die mir mein Problem löst .
Also ist meine Frage, gibt es irgendwo extrem veranschaulicht die Herleitung von Winkel von da zu Sinus usw ?
Also nicht nach Schulmathematik sondern so wies die ursprünglichen "Entdecker" in dem Fall wohl meist Euler.
Hoffe diese Frage ist nicht unpassend und keineswegs soll man denken, dass ich mit den ganzen vorgegeben Formeln nicht rechnen kann oder sie anwenden kann, ich will aber alles von grundauf verstehen.
mfg
ps an den Mod: war mir nicht sicher in welches Forum eine solche Frage gehört, deshalb bitte in das richtige verschieben, danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:03 Fr 12.09.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo felixn,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Den Sinus "herleiten" kann man meiner Meinung nach nicht. Man kann ihn dagegen auf untschiedliche Arten definieren. Zum Beispiel mit (rechtwinkligen) Dreiecken. So macht man das etwa in der Schule.
Was die Geschichte der Mathematik angeht, bin ich jetzt nicht so der Experte, aber ich kann mir vorstellen, dass irgendwer damals (wahrscheinlich schon im antiken Griechenland) festgestellt hat, dass bei ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse des entsprechenden Winkels stets gleich ist. Das heißt, dass dieses Verhältnis für das Dreieck (bzw. den Winkel) charakteristisch ist. Da ist es doch naheliegend, so einem Wert einen eigenen Namen zu geben.
Das ist meiner Meinung nach eine ziemlich intuitive Definition. Man kann den Sinus z.B. auch über seine Potenzreihe definieren. Das hat dann insofern Vorteile, weil man damit manchmal besser rechnen/beweisen kann.
Oder nimm die komplexe Exponentialfunktion und betrachte ihren Imaginärteil...
Der Sinus taucht in so vielen Teilgebieten der Mathematik auf und man kann ihr auf genauso viele Arten definieren (!), und doch handelt es sich um dieselbe Funktion, bzw. allgemeiner: dasselbe Konstrukt.
Ich habe das hier mal als Mitteilung geschrieben, weil es ja nicht wirklich deine Frage beantwortet...
Aber die Frage nach einer "Herleitung" vom Sinus oder gar eines Winkels wird dir niemand geben können. Die Mathematik "definiert" Dinge und leitet dann daraus neue Erkenntnisse her.
Sag bescheid, ob du mit dem hier zufrieden bist, oder ob du noch weitere Antworten möchtest. Bei Letzterem solltest du deine Frage vielleicht noch ein bisschen präzisieren.
Lieben Gruß,
Fulla
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Hm.
Also die verschiedenen Definitionen des Sinus bei Wikipedia (= ![[]](/images/popup.gif)
http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus sind es nicht,die dich interessieren bzw. die du meinst....
Dann sind wohl auch die Mathematische Basteleien zum Sinus nichts Geeignetes: http://www.mathematische-basteleien.de/sinus.htm
Und die Namensherkunft, gleichzeitig ein Ausflug in die Geschichte:
Sinus
Herkunft: Die lateinische Bezeichnung 'Sinus' "Bogen, Krümmung, Busen" für diesen mathematischen Begriff wählte Gerhard von Cremona 1175 als Übersetzung der arabischen Bezeichnung 'gaib' oder 'jiba' "Tasche, Kleiderfalte", selbst entlehnt von ind. Sanskrit 'jiva' "Bogensehne". Sinus = Gegenkathete zu Hypothenuse
Grüße von
Eisfisch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:23 Fr 12.09.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo,
falls du an der Geschichte trigonometrischer Funktionen interessiert bist, ist besonders der englischsprachige Wikipedia-Artikel etwas für dich. Insbesondere die Reihendarstellung durch Madhava war auch für mich etwas neues. Zudem habe ich folgendes zum Thema Gradmaß im Handbuch der Mathematik gefunden:
Im alten Sumer zwischen Euphrat und Tigris benutzte man vor 4000 Jahren ein Zahlensystem zur Basis 60 (Sexagesimalsystem). Darauf ist es zurückzuführen, dass zum Beispiel die Zahlen 12, 24, 60 und 360 bei unserer Zeit- und Winkelmessung in herausgehobener Weise auftreten. Neben dem Grad benutzt man zum Beispiel in der Astronomie zusätzlich die folgenden kleineren Einheiten:
1' (Bogenminute) =1°/60,
1'' (Bogensekunde) =1°/3600.
Falls dich die Herleitung aus historischer Sicht beschäftigt, solltest du dir Bücher über die Geschichte der Mathematik ausleihen.
MfG
Ladon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Fr 12.09.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Winkel und auch Winkelfunktionen sind sehr viel älter als Euler usw.
Zuerst wurden Winkel wohl in der Astronomie und der Landvermessung benutzt.
dabei benutzten meunes Wissens die Ägypter unsere heutigen Winkel, also Vollkris in 389 Teile unterteilt, diese weiter in 60 Teile. So konnte man Stellungen von Sonne und Gestirnen relativ zum Lot oder zum Horizont beschreiben. Soweit ich weiss benutzten schon die Babylonier so was wie den sin, indem sie das Verhältnis der Grundseite zur Seite eines gleichschenkligen Dreiecks angaben, also den doppelten sin.
Es ist leicht zu sehen, dass man Winkel leichter mitteilen kann, indem man Streckenverhältnisse angibt, der Nachteil dabei ist, dass diese art Winkelmessung nicht additiv ist, dafür aber leicht zu konstruieren.Dagegen ist es problematisch einen Kreis in z.B. 360 Teile einzuteilen. So ist eigentlich das "normale! Winkelmaß problematisch, nicht sin oder cos, die ja nur Seitenverhältnisse angeben.
Aber schon die griechischen Astronomen hatten so was wie sin Tabellen.
viel genauer allerdings kenne ich die Geschichte nicht.
Was wir aber immer wieder übersehen ist, wieviel etwa schon Archimedes über heute moderne Mathematik wusste,
Gruß leduart
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> Mein Problem ist nun, ich wollte verstehen wie man den
> Sinus herleitet, die dazugehörige Folge/Summe wie auch
> immer in allgemeiner Form habe ich gefunden, also habe ich
> ein wenig weiter gedacht und kam auf den Winkel.
> Der Winkel ist wenn ich drüber nachdenke eigentlich ja
> wenn man von einer Konstanten funktion bsp. y=0 als gerade
> ausgeht von irgendeinem beliebigen Punkt das Verhältnis
> einer Geraden die diesen Punkt schneidet und angibt in
> welche Richtung diese Gerade aus dem Punkt im Verhältnis
> zur gerade y=0 sich entfernt.
>
> also gehen wir davon aus y=0 geht von x0-x10.
> und die zweite gerade y=1x geht aus dem Punkt (0/0)
> hervor.
> der Winkel dazwischen ist 45°. die steigung ist = 1
>
> D.h. hier ist ja ein eindeutiges Verhältnis dieser beiden
> Strecken zueinander
> auch durch den Winkel entstanden, vllt seh ich das auch
> falsch.
> Jedenfalls finde ich hierzu nicht die Definition die mir
> mein Problem löst .
>
> Also ist meine Frage, gibt es irgendwo extrem
> veranschaulicht die Herleitung von Winkel von da zu Sinus
> usw ?
>
> Also nicht nach Schulmathematik sondern so wies die
> ursprünglichen "Entdecker" in dem Fall wohl meist Euler.
>
> Hoffe diese Frage ist nicht unpassend und keineswegs soll
> man denken, dass ich mit den ganzen vorgegeben Formeln
> nicht rechnen kann oder sie anwenden kann, ich will aber
> alles von grundauf verstehen.
>
> mfg
Hallo felixn,
etwas seltsam scheint mir, wie du den Begriff des Winkels
zu verstehen versuchst, wenn du dazu Geradengleichungen
wie y=0 und y=x verwendest. Der Winkelbegriff ist natürlich
von der Betrachtung von Kreisbögen und deren Längen im
Vergleich zum gesamten Umfang des Kreises entstanden.
Auf einem Kreis mit einem vorgegebenen Radius wird die
Größe des Winkels zwischen zwei vom Zentrum ausgehenden
Strahlen durch die Angabe der Bogenlänge des entsprechenden
Kreissektors bestimmt. Das traditionelle Maß dafür, das bis auf
die Babylonier zurückgeht, weist dem vollen Winkel eine Größe
von 360° und zum Beispiel dem Winkel eines Dreiecks mit
3 gleich großen Winkeln eine Größe von 60° zu. Die Zahl 60,
die auch in unserem Zeiteinteilungssystem (1 Stunde = 60
Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden) heute noch weiterlebt,
diente dann auch als Zahlenbasis für die feinere Winkel-
unterteilung (1 Bogengrad = 60 Bogenminuten, 1 Bogenminute
= 60 Bogensekunden).
Die Bestimmung von Werten wie etwa [mm] sin(\alpha) [/mm] , [mm] cos(\alpha) [/mm] , [mm] tan(\alpha)
[/mm]
zu einem in Grad vorgegebenen Winkel [mm] \alpha [/mm] war aber für sehr
lange Zeit keine einfache Aufgabe, und noch bis vor wenigen
Jahrzehnten (vor den Taschenrechnern) benutzte man auch
in hiesigen Schulen dafür Tabellenwerke.
Noch etwas kleines zum Ausdruck "Sinus" für das Verhältnis
von Gegenkathete zu Hypotenuse in einem rechtwinkligen
Dreieck: Das lateinische Wort "sinus" (deutsch "Busen", "Bucht")
hierfür ist eigentlich das Ergebnis einer Fehlinterpretation
eines Wortes für "Bogensehne", das ursprünglich aus dem
Sanskrit stammt. Den Terminus "Sehne" für das, was wir
heute als [mm] sin(\alpha) [/mm] bezeichnen, kann man sich aber gut
veranschaulichen. Zeichnen wir zu einem rechtwinkligen Dreieck,
dessen Hypotenuse die Länge 1 hat, den Umkreis (Thaleskreis),
dann hat diejenige Dreiecksseite, welche dem (spitzen) Winkel [mm] \alpha
[/mm]
des Dreiecks gegenüberliegt und eine Sehne des Thaleskreises
bildet, genau die Länge [mm] sin(\alpha) [/mm] .
Ich weiß nicht, welche der Formeln aus dem Bereich der
Trigonometrie und der Winkelfunktionen genauer verstehen
möchtest. Natürlich kann man dazu vieles im Internet finden,
aber stell hier ruhig weitere (aber etwas gezieltere) Fragen dazu !
LG , Al-Chwarizmi
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![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
Al
