Winkel zweier linearer Geraden < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 Do 25.06.2015 | | Autor: | Gooly |
| Aufgabe | Ich habe zwei Graden:
1) y= 2,1x +1
2) y=-1,4x +1
Beide kreuzen im Punkt (0,1) mit fast 90°
Wie komme ich jetzt aber auf Zahl von fast 90° |
Ich habe gefunden (und probiert):
tan(abs((m1-m2)/(1+m1*m2)))
=> tan(abs((2,1--1,4)/(1+2,1*-1,4))) => -4,2
Dann mit ArcTan(tan(..)) => -1,34
Es steht aber fast überall (https://de.wikipedia.org/wiki/Schnittwinkel_%28Geometrie%29)
tan(..) = x, y° = ArcTan(x)?
lim(ArcTan) für x=> Unendlich = pi?
1) Richtig also: y° = ArcTan(x)*180/pi (<=360/(2*pi))?
2) Aber ArcTan(tan(..))? Kann ich ArcTan(tan(..)) weglassen?
3) Wenn 2) ist falsch, warum?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Do 25.06.2015 | | Autor: | chrisno |
> Ich habe zwei Graden:
> 1) y= 2,1x +1
> 2) y=-1,4x +1
> Beide kreuzen im Punkt (0,1) mit fast 90°
Kurze Anmerkung: es heißt schneiden, nicht kreuzen, lineare Gerade ist wie ein weißer Schimmel.
> Wie komme ich jetzt aber auf Zahl von fast 90
Ich mag so fertige Formeln nicht. Ich nehme nun einfach die Steigung der einzelnen Geraden (Winkel zur x-Achse). Aus der Definition des Tangens folgt für y = mx + b, dass $m = [mm] \tan(\alpha)$
[/mm]
Damit ergibt sich [mm] $\alpha_1 [/mm] = [mm] \arctan(2,1)$ [/mm] und [mm] $\alpha_2 [/mm] = [mm] \arctan(-1,4)$ [/mm]
Insgesamt ergibt sich einSchnittwinkel von etwa 118° beziehungsweise 62°. Fast 90° nenne ich das nicht. Dass die Gerade nicht nahezu senkrecht zueinander sind, erkennt man aber auch sofort, weil für die zweite Gerade dann im Steigungsdreieck [mm] $\Delta [/mm] x$ und [mm] $\Delta [/mm] y$ genau ausgetauscht sein müssen. Dazu kommt noch ein Minuszeichen und daher muss [mm] $m_2 [/mm] = [mm] \bruch{-1}{m_1} [/mm] $ sein. Das ist bei diesen Geraden aber nicht so.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Do 25.06.2015 | | Autor: | Gooly |
> Ich mag so fertige Formeln nicht.
Für ein Programm benötige ich sie aber!
...
> $ [mm] \alpha_1 [/mm] = [mm] \arctan(2,1) [/mm] $ und $ [mm] \alpha_2 [/mm] = [mm] \arctan(-1,4) [/mm] $
So sind [mm] \alpha_1 [/mm] und [mm] \alpha_2 [/mm] immer noch im Bogenmaß?
Erst: $ [mm] \alpha_1 [/mm] = [mm] \arctan(2,1)*180/\pi [/mm] $ und $ [mm] \alpha_2 [/mm] = [mm] \arctan(-1,4)*180/\pi [/mm] $
würden daraus Grad-Angaben machen - richtig?
Ich muss sicher sein, weil ich danach im meinem Programm die Limits festlegen muss.
Kann ich jetzt also für den 'rechts-offenen' Schnittwickeln zweier Geraden mit einem Resultat in Grad° verwenden:
[mm] \alpha [/mm] = [mm] \arctan(\operatorname{abs}(\bruch{(m1-m2)}{(1+m1*m2)}))*180°/\pi
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Do 25.06.2015 | | Autor: | chrisno |
> > Ich mag so fertige Formeln nicht.
> Für ein Programm benötige ich sie aber!
Nicht unbedingt so, s.u.
>
> ...
>
> > [mm]\alpha_1 = \arctan(2,1)[/mm] und [mm]\alpha_2 = \arctan(-1,4)[/mm]
> So
> sind [mm]\alpha_1[/mm] und [mm]\alpha_2[/mm] immer noch im Bogenmaß?
> Erst: [mm]\alpha_1 = \arctan(2,1)*180/\pi[/mm] und [mm]\alpha_2 = \arctan(-1,4)*180/\pi[/mm]
>
> würden daraus Grad-Angaben machen - richtig?
In Programmiersprachen arbeiten die Winkelfunktionen im Bogenmaß. Also musst Du in Grad umrechnen, wie Du es gemacht hast.
>
> Ich muss sicher sein, weil ich danach im meinem Programm
> die Limits festlegen muss.
Am besten testest Du Deine Ergebnisse.
>
> Kann ich jetzt also für den 'rechts-offenen'
> Schnittwickeln zweier Geraden mit einem Resultat in Grad°
> verwenden:
>
> [mm]\alpha[/mm] =
> [mm]\arctan(\operatorname{abs}(\bruch{(m1-m2)}{(1+m1*m2)}))*180°/\pi[/mm]
Nein.
>
Ich habe in Wikipedia nachgeschaut. Da scheint das der nach unten geöffnete Winkel zu sein. Also musst Du noch immer 180° - [mm] $\alpha$ [/mm] rechnen. Dann ist da noch das Problem mit den Senkrechten.
Warum aber nimmst Du nicht die einfache Rechnung, wie ich sie gegeben habe?
Du musst nur noch den Betrag der Differenz beider Winkel berechnen und dann hast Du das Gewünschte. Solange Die Geraden in der Form y=mx+b angegeben sind, bist Du auch alle Sorgen mit Senkrechten ( m = [mm] \infty [/mm] ) und Senkrechten [mm] (g_1 \perp g_2$) [/mm] los.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Do 25.06.2015 | | Autor: | Gooly |
Danke!
Es ist wohl wirklich so! Mit der 'großen' Formel komme ich nicht weit!
Besser ist so wie Du sagst:
[mm] \alpha [/mm] = [mm] (\arctan(m1) [/mm] - [mm] \arctan(m2))*180/\pi
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:22 Do 25.06.2015 | | Autor: | chrisno |
Vergiss den Betrag nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Do 25.06.2015 | | Autor: | Gooly |
Betrag - was meinst Du und wo bzw. Betrag von was?
Ich will die Information nutzen, die in den Vorzeichen steckt!
Keine Probleme, wenn die Vorzeichen beider Winkel gleich sind:
[mm] \alpha [/mm] = [mm] (\arctan(+3,5) [/mm] - [mm] \arctan(+0,7))*180/\pi [/mm] = 39° => steigt
[mm] \alpha [/mm] = [mm] (\arctan(-5,1) [/mm] - [mm] \arctan(-1,8))*180/\pi [/mm] =-18° => fällt
Aber wenn nicht gleich:
[mm] \alpha [/mm] = [mm] (\arctan(-1,4) [/mm] - [mm] \arctan(+2,1))*180/\pi [/mm] = -119°
=> Tendenz abwärts aber Winkel rechts sollte (-180--119=) -61° sein.
[mm] \alpha [/mm] = [mm] (\arctan(+2,5) [/mm] - [mm] \arctan(-2,3))*180/\pi [/mm] = +135°
=> Tendenz steigt aber Winkel rechts sollte (180-119=) +45° sein.
Gäbe es dafür eine Formel statt die Einzelfallunterscheidung
a) if (gleiches Vorzeichen) ..
b) if (Vorzeichen des ersten Winkels) ..?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Do 25.06.2015 | | Autor: | chrisno |
Das wiederum verstehe ich nicht. Ich dachte Du willst den Winkel zwischen den Geraden wissen. Genauer, den Winkel zwischen den Geraden, wenn man für beide $X [mm] \to \infty$ [/mm] laufen lässt, also auf beiden Geraden nach rechts geht. Dann wäre
$ [mm] \alpha [/mm] = | [mm] (\arctan(m1) [/mm] - [mm] \arctan(m2))|\cdot{}180/\pi [/mm] $
> Betrag - was meinst Du und wo bzw. Betrag von was?
s.o.
>
> Ich will die Information nutzen, die in den Vorzeichen
> steckt!
> Keine Probleme, wenn die Vorzeichen beider Winkel gleich
> sind:
>
> [mm]\alpha[/mm] = [mm](\arctan(+3,5)[/mm] - [mm]\arctan(+0,7))*180/\pi[/mm] = 39° =>
> steigt
Wer steigt? Ich dachte es geht um den Winkel zwischen den beiden Geraden.
> [mm]\alpha[/mm] = [mm](\arctan(-5,1)[/mm] - [mm]\arctan(-1,8))*180/\pi[/mm] =-18° =>
> fällt
>
> Aber wenn nicht gleich:
> [mm]\alpha[/mm] = [mm](\arctan(-1,4)[/mm] - [mm]\arctan(+2,1))*180/\pi[/mm] = -119°
> => Tendenz abwärts aber Winkel rechts sollte (-180--119=)
> -61° sein.
Das ist mir auch unklar. Was ist an einem Winkel > 90° falsch?
>
> [mm]\alpha[/mm] = [mm](\arctan(+2,5)[/mm] - [mm]\arctan(-2,3))*180/\pi[/mm] = +135°
> => Tendenz steigt aber Winkel rechts sollte (180-119=)
> +45° sein.
>
> Gäbe es dafür eine Formel statt die
> Einzelfallunterscheidung
> a) if (gleiches Vorzeichen) ..
> b) if (Vorzeichen des ersten Winkels) ..?
>
Das if() ist doch gut.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:36 Fr 26.06.2015 | | Autor: | Gooly |
1) Also eigentlich sind die beiden Geraden Steigungen (m1 und m2) zweier Kurven (k1 und k2) an der selben Stelle x.
2) Die Kurve k1 pendelt um die Kurve k2 daher mache ich:
[mm] \alpha [/mm] = [mm] (\arctan(m1) [/mm] - [mm] \arctan(m2))*180/\pi
[/mm]
Man könnte es so sehen die Kurve k1 zieht k2 hinter sich her, also wenn k1 stark steigt wird k2 auch bald steigen.
Daher hat der 'nach rechts offene' Winkel eine Aussagekraft.
Ich habe das jetzt aber noch einmal in Excel und http://rechneronline.de/funktionsgraphen/
mit versch. Werten nachgerechnet - ich hatte es falsch eingeschätzt, Obiges geht doch:
m1 m2 Winkel
-1,4 +2,1 -119°
-0,5 +1,0 -72°
-2,4 +3,1 -141°
-1,0 +1,0 -90°
Mir erschien bei den Werten der ersten Zeile optisch der Winkel nach oben größer als der nach rechts. Aber dem ist nicht so!
Und so (ohne Betrag) wird mir auch angezeigt wie die Kurve k2 sich wahrscheinlich entwickeln wird.
Für Leute, die das nachlesen wollen hiermit sind die resultierenden Werte [mm] \beta [/mm] normiert zwischen -1 und +1:
[mm] \beta [/mm] = [mm] (\arctan(m1) [/mm] - [mm] \arctan(m2))/\pi
[/mm]
Auf jeden Fall vielen Dank, jetzt weiß ich welche Ergebnisse ich wie erhalte und was ich aus ihnen lesen kann!
Gooly
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