Winkel zwischen Vektoren < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:38 Di 23.12.2008 | | Autor: | TFreudi1 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo ich möchte den Winkel zwischen zwei aufeinanderstehenden Vektoren bestimmen ( 2D Raum). Allerdings soll das immer der Winkel sein der sozusagen rechts liegt ,d .h. er muss auch größer als 180 Grad sein können. Mit dem Skalarprodukt ist aber immer bei 180 Grad Schluss. Wenn z.B. Vektor1 = (0,0)(0,1) ist und Vektor2 = (0,1)(-1,2) sollte cder Winkel 215° und nicht 135° . Leider kann ich hier keine BMP hinterlegen sonst hätte ich mal nen Zeichnung hinterlegt. Lässt sich das überhaupt mit Vektoren rechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:44 Di 23.12.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Der zu ermittelnde grosse Winkel [mm] \beta [/mm] und der mit [mm] \cos(\alpha)=\bruch{<\vec{a};\vec{b}>}{|\vec{a}|*|\vec{b}|} [/mm] zu ermittelnde Winkel [mm] \alpha [/mm] ergänzen sich ja zu [mm] 360°[\text{Gradmass}]\hat=2\pi[\text{Bogenmass}], [/mm] also gilt: [mm] \beta=360-\alpha [/mm] .
Damit kannst du ja dann den "grossen" Winkel ermitteln
Marius
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:29 Di 23.12.2008 | | Autor: | TFreudi1 |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Danke für die Antwort. Mir fehlt nur nen Denkanstoss wann ich den größeren von beiden nehmen muss. Wenn man sich das aufzeichnet sieht man das ja aber ich brauch ne allgm. Formel. Es handelt sich um Punkte einer Wegstrecke die ein Fahrzeug zurück legen soll. Die Aufgabe ist eine Formel dafür zu finden die Winkel zu bestimmen die immer rechts in Fahrtrichtung liegen wenn die Strecke ein "Knick" macht. Mit der normalen Dreiecksberechnung konnte ich auch immer den (kleineren) Winkel bestimmen. Weil das aber ja nicht immer stimmt habe ich mich mal mit Vektoren beschäftigt. Aber da komme ich auch nicht so richtig weiter.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Danke für die Antwort. Mir fehlt nur ein Denkanstoss wann
> ich den größeren von beiden nehmen muss. Wenn man sich das
> aufzeichnet sieht man das ja aber ich brauch ne allgem.
> Formel. Es handelt sich um Punkte einer Wegstrecke die ein
> Fahrzeug zurück legen soll. Die Aufgabe ist eine Formel
> dafür zu finden die Winkel zu bestimmen die immer rechts in
> Fahrtrichtung liegen wenn die Strecke einen "Knick" macht.
> Mit der normalen Dreiecksberechnung konnte ich auch immer
> den (kleineren) Winkel bestimmen. Weil das aber ja nicht
> immer stimmt habe ich mich mal mit Vektoren beschäftigt.
> Aber da komme ich auch nicht so richtig weiter.
Wenn ich richtig verstanden habe, hast du also
in der x-y-Ebene einen Streckenzug ABCDE.....
Machen wir ein konkretes Beispiel:
Wegstück Himmelsrichtung Richtungswinkel
[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] nach Osten $0°$
[mm] \overrightarrow{BC} [/mm] Richtung Nordost $45°$
[mm] \overrightarrow{CD} [/mm] nach Süden $-90°$
[mm] \overrightarrow{DE} [/mm] nach Osten $0°$
Du misst die Aussenwinkel auf der rechten Seite
des beschrittenen Weges, also hast du bei den
Punkten B,C,D die folgenden Winkel:
[mm] $\beta=225°,\ \gamma=45°,\ \delta= [/mm] 270°$.
Habe ich dies soweit richtig interpretiert ?
Sorry, erst habe ich bemerkt, dass du eine Skizze
beigefügt hast. Die bestätigt meine Interpretation.
Dann kannst du so verfahren:
Jedes geradlinige Wegstück hat einen Richtungswinkel
(siehe obige Tabelle). Um aus den Richtungswinkeln
[mm] \varphi_{AB}=0° [/mm] und [mm] \varphi_{BC}=45° [/mm] auf den Winkel [mm] \beta=225° [/mm] zu kommen,
rechnest du:
[mm] $\beta=180°+\varphi_{BC}- \varphi_{AB}$
[/mm]
und analog:
[mm] $\gamma=180°+\varphi_{CD}- \varphi_{BC}$
[/mm]
[mm] $\delta=180°+\varphi_{DE}- \varphi_{CD}$
[/mm]
Alles klar ?
Gruß Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:10 Di 23.12.2008 | | Autor: | TFreudi1 |
Genauso ist es. In meinem letzten Posting habe ich auch noch ne kleine Skizze angehangen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Genauso ist es. In meinem letzten Posting habe ich auch
> noch ne kleine Skizze angehangen.
Du hast sie (als Anhang) angehängt ... 
Leider habe ich dies etwas zu spät bemerkt.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:43 Di 23.12.2008 | | Autor: | TFreudi1 |
Nullo Problemo ich kämpfe auch noch mit der Bedienung des Forums 
Wenn ich aus P0,P1,P2 ein Dreieck bilde kann ich ja einfach den Winkel an P1 bestimmen. Nur wie ich aus der Richtung der Vektoren bestimmen kann ob ich den so verwenden kann oder von 360° abziehen weiß ich halt nicht.
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> Wenn ich aus P0,P1,P2 ein Dreieck bilde kann ich ja
> einfach den Winkel an P1 bestimmen. Nur wie ich aus der
> Richtung der Vektoren bestimmen kann ob ich den so
> verwenden kann oder von 360° abziehen weiß ich halt nicht.
Hallo Thomas
Am besten rechnest du eben gar nicht im Dreieck
[mm] P_0P_1P_2, [/mm] sondern mit den Richtungswinkeln der Vektoren !
Wie schon gesagt: Bestimme zuerst die Richtungs-
winkel [mm] \varphi_{01} [/mm] und [mm] \varphi_{12} [/mm] der Vektoren [mm] \overrightarrow{P_0P_1} [/mm] und [mm] \overrightarrow{P_1P_2}
[/mm]
Dann ist dein gesuchter Winkel bei Punkt [mm] P_1:
[/mm]
[mm] \alpha_1=180°+\varphi_{12}-\varphi_{01}
[/mm]
Der Grund, weshalb es nach deinem Ansatz nicht
so gut geht, ist folgender:
Berechnest du im Dreieck [mm] P_0P_1P_2 [/mm] den Winkel bei
[mm] P_1 [/mm] nach dem Cosinussatz, so erhältst du nur einen
Cosinuswert. Die Information, ob der Weg bei [mm] P_1 [/mm]
einen Knick nach rechts oder nach links macht,
geht dabei verloren. Das war ja genau dein Problem.
Rechnest du aber von Anfang an mit den Richtungs-
winkeln der Wegstrecken bzw. Vektoren, so hast du
die volle Information.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:15 Di 23.12.2008 | | Autor: | TFreudi1 |
Danke. Mensch klar den Winkel der Vektoren zum Bezugssystem zu bestimmen ist der Schlüssel den ich im Wald voll Winkel nicht gesehen habe
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