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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:26 Do 15.01.2009 | | Autor: | Sirvivor |
Hallo,
Ich grübel schon seit wochen über einer sehr schweren Aufgabe.
Im dreidimesionalen Karthesischen Koordinatensystem ist ein Vektor [mm] \vec{v}=\vektor{v_{x} \\ v_{y} \\ v_{z}} [/mm] gegeben und als Summe der Vektoren [mm] \vec{a},\vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] darzustellen.
Jeder Vektor [mm] \vec{a},\vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] darf nur einmal verwendet werden.
[mm] \vec{v}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}
[/mm]
[mm] |\vec{a}|=120
[/mm]
[mm] |\vec{b}|=100
[/mm]
[mm] |\vec{c}|=20
[/mm]
Daraus folgt [mm] |\vec{v}| \le [/mm] 240
Die Richtung der Vektoren darf verändert werden, sodass die o.g. Bedingung erfüllt ist, jedoch sind die folgenden Nebenbedingungen ebenfalls zu beachten.
[mm] \vec{c} [/mm] befindet sich in der von [mm] \vec{e_{x}} [/mm] und [mm] \vec{e_{y}} [/mm] aufgespannten Ebene.
[mm] \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{a} [/mm] befinden sich in der von [mm] \vec{c} [/mm] und [mm] \vec{e_{z}} [/mm] aufgespannten Ebene.
Gesucht sind die Winkel zwischen [mm] \vec{c} [/mm] und [mm] \vec{e_{x}} [/mm] = [mm] \gamma ,\vec{b} [/mm] und [mm] -\vec{e_{z}} [/mm] = [mm] \beta [/mm] sowie [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \alpha
[/mm]
Die drei Winkel liegen zwischen 0° und 180°
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Ich hänge bei meinen Lösungsansätzen meist bei dem Problem zwei gleichungen und zwei unbekannte fest. Eigentlich lösbar, jedoch sind meine beiden Unbekannten je einmal in der Sinus- und Cosinusfunktion enthalten. --> 4 Unbekannte.
Die lösung für den Winkel zwischen [mm] \vec{c} [/mm] und [mm] \vec{e_{x}} [/mm] habe ich.
[mm] \gamma=acos \bruch{-v_{x}}{\wurzel{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}
[/mm]
Mit dem Winkel lässt sich die problematik auf Zwei Dimensionen beschränken.
Die X und Y Koordinate von [mm] \vec{v} [/mm] lassen sich zu einer zusammenfassen.
[mm] v_{xy} [/mm] = länge von [mm] \vec{v} [/mm] in der X/Y Ebene lässt sich mit [mm] \wurzel{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}} [/mm] berechnen
|z
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|____> x/y Ebene
c verläuft wagerecht, a und b verlaufen beliebig aber wenn man c und b und a aneinander hängt erhält man v. Zeichnerisch gibt es stehts eine Lösung, also muss man es doch auch berechnen können.
Mein hängender Lösungsansatz:
Ich habe es mit Komplexen zahlen versucht. 0° sind in Richtung [mm] -\vec{e_{z}}
[/mm]
[mm] |\vec{v}|*e^{i*\delta}=i*|\vec{c}|+|\vec{b}|*e^{i*\beta}+|\vec{a}|*e^{i*\alpha'}
[/mm]
[mm] \delta [/mm] liegt zwischen [mm] \vec{v} [/mm] und [mm] -\vec{e_{z}} [/mm]
[mm] \alpha' [/mm] liegt zischen [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] -\vec{e_{z}}
[/mm]
[mm] \alpha'=\alpha+\beta-180
[/mm]
[mm] v_{z}+i*v_{xy}=i*|\vec{c}|+|\vec{b}|*cos(\beta)+i*|\vec{b}|*sin(\beta)+i*|\vec{a}|*sin(\alpha+\beta)-|\vec{a}|*cos(\alpha+\beta)
[/mm]
Das lässt sich in zwei gleichungen überführen aber [mm] sin(\beta) [/mm] und [mm] cos(\beta) [/mm] sowie [mm] sin(\alpha) [/mm] und [mm] cos(\alpha) [/mm] sind zu viele unbekannte.
mfg Sirvivor
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo Sirvivor,
das ist eine nette Aufgabe. Ich will sie bloß selbst nicht lösen. Wenn Du angibst, wie Du zu Deinen Zwischenlösungen kommst, schaue ich aber gerne mal durch, ob mir Fehler auffallen.
Der entscheidende Satz der Aufgabenstellung scheint mir dieser zu sein: "Jeder Vektor $ [mm] \vec{a},\vec{b} [/mm] $ und $ [mm] \vec{c} [/mm] $ darf nur einmal verwendet werden."
Komplexe Zahlen brauchst Du aber m.E. nicht, um eine Lösung zu finden.
lg,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:04 Fr 16.01.2009 | | Autor: | Sirvivor |
Die Schreibweise mit den komplexen zahlen war halt nur eine "Schreibweise" für das Zweidimensionale problem. Sie verschwinden ja auch eine Zeile später wieder. Ich hoffe die Bilder im Anhang sind Hilfreich.
Ich habe auch eine Lösung für das Problem, jedoch ist diese geometrisch und nicht vektoriell, daher enthält die Lösung eine Vielzahl von Fallunterscheidungen. (ca. 8)
Ich dachte, dass eine Vektorielle Lösung ohne diese Fallunterscheidung auskäme.
mfg Sirvivor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 Fr 16.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Sirvivor,
ist der Vektor [mm] \vec{v} [/mm] wirklich nur so allgemein gegeben?
Ich stimme Dir zu, dass das nicht bequem aufzulösen ist.
lg,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:38 So 18.01.2009 | | Autor: | Sirvivor |
Vector [mm] \vec{v} [/mm] wird in Koordinatenform gegeben und ist die unabhängige variable der Aufgabenstellung. Der Vektor wird so gegeben, dass die Bedingungen erfüllt werden können.
[mm] \alpha, \beta [/mm] und [mm] \gamma [/mm] sind die Abhängigen.
mfg Sirvivor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:22 So 18.01.2009 | | Autor: | reverend |
Das beantwortet meine Frage nicht.
Ist tatsächlich ein Vektor gegeben, sind seine Koordinaten bekannt? Oder muss man allgemein mit [mm] v_x, v_y, v_z [/mm] rechnen? Dann kann man kaum etwas zusammenfassen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:25 So 18.01.2009 | | Autor: | Sirvivor |
Ich brauche eine Allgemeine Lösung mit vx, vy und vz. Später werden dann 50 Werte pro sekunde in die Gleichungen eingesetzt um somit die Winkel zu bestimmen.
mfg Sirvivor
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