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| Aufgabe | [mm] f_{k}=k*(1+sin(kx)) [/mm] k>0
Ermittle die Hoch und Wendepunkte der Graphen der Funktionenschar.
Suchen Sie die Ortskurze der Hochpunkte im 1. Quadranten mit der jeweils kleinsten 1. Koordinate. |
Hey Leute.
[mm] f_{k}'(x)=k^2*cos(kx)
[/mm]
[mm] k^2*cos(kx) [/mm] = 0
cos(kx) = 0
[mm] x_{E}=\bruch{\pi}{k}
[/mm]
Da eine Winkelfunktion seine Funktionswerte periodisch wiederholt,
müsste die Stelle ja mit ein ganzzahliges Vielfaches "t" mit der Periodenlänge multipliziert werden, richtig?
[mm] x_{E}=\bruch{\pi}{k}*t*p
[/mm]
p = [mm] \bruch{2\pi}{k}
[/mm]
[mm] x_{E}=\bruch{\pi}{k}*t*{2\pi}{k}
[/mm]
Jedoch sagt der Lösungszettel den wir bekommen haben.
[mm] x_{E}=(2t+\bruch{1}{2})*\bruch{\pi}{k}
[/mm]
Wieso ist das so und wo ist mein Fehler?
Lieben Dank..Daniel
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Hallo Blaub33r3,
> [mm]f_{k}=k*(1+sin(kx))[/mm] k>0
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> Ermittle die Hoch und Wendepunkte der Graphen der
> Funktionenschar.
> Suchen Sie die Ortskurze der Hochpunkte im 1. Quadranten
> mit der jeweils kleinsten 1. Koordinate.
> Hey Leute.
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> [mm]f_{k}'(x)=k^2*cos(kx)[/mm]
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> [mm]k^2*cos(kx)[/mm] = 0
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> cos(kx) = 0
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> [mm]x_{E}=\bruch{\pi}{k}[/mm]
Es ist [mm]\cos\left(\pi\right)=-1[/mm]
Richtig muss es heisen: [mm]\cos\left(\bruch{\pi}{2}\right)=0[/mm]
[mm]\Rightarrow kx_{E} = \bruch{\pi}{2} \gdw x_{E}=\bruch{\pi}{2k}[/mm]
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> Da eine Winkelfunktion seine Funktionswerte periodisch
> wiederholt,
> müsste die Stelle ja mit ein ganzzahliges Vielfaches "t"
> mit der Periodenlänge multipliziert werden, richtig?
>
> [mm]x_{E}=\bruch{\pi}{k}*t*p[/mm]
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> p = [mm]\bruch{2\pi}{k}[/mm]
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> [mm]x_{E}=\bruch{\pi}{k}*t*{2\pi}{k}[/mm]
Es ist richtig, daß man alle Lösungen bekommt, wenn man die Periodizität berücksichtigt.
Es ist also
[mm]\Rightarrow kx_{E} = \bruch{\pi}{2} + 2t*\pi\gdw x_{E}=\bruch{\pi}{2k}+t*\bruch{\pi}{k}, t \in \IN[/mm]
Genau genommen, müßte es heissen:
[mm]\Rightarrow kx_{E} = \bruch{\pi}{2} + s*\pi\gdw x_{E}=\bruch{\pi}{2k}+s*\bruch{\pi}{k}, s \in \IN[/mm]
Da aber für s ungerade nur Tiefpunkte vorliegen, geht obige Lösung in Ordnung.
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> Jedoch sagt der Lösungszettel den wir bekommen haben.
>
> [mm]x_{E}=(2t+\bruch{1}{2})*\bruch{\pi}{k}[/mm]
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>
> Wieso ist das so und wo ist mein Fehler?
>
> Lieben Dank..Daniel
Gruß
MathePower
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Hey Leute,
Kurz nochmal wie ich jetzt zur bisherigen Lösung komme
[mm] k^2*cos(kx) [/mm] = 0
x = [mm] \bruch{2\pi}{k}+ \bruch{2\pi}{k}*t [/mm] t aus |R // ich addiere einfach ein vielfaches der periodenlänge hinzu.
x = [mm] \bruch{\pi}{k}(\bruch{1}{2}+2t)
[/mm]
Woher weiß ich das für die geraden Werte von t Hochpunkte erhalte und für ungerade Tiefpunkte?
Und wieso ist die x-Koordinate des Tiefpunktes aufeinmal
[mm] x=\bruch{\pi}{k}(\bruch{3}{2}+2t)
[/mm]
Bitte versucht mir das jemand verständlich zu machen, ich komm da einfach nicht weiter..
Liebe Grüße, Daniel
EDIT ... ich hab gerade noch so eine Idee, aber ich weiß nich wie ich es in Worte fassen kann gut.
Also cos(kx) = 0
Is ja für [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] 0 ... und eine halbe periode weiter müsste ja der 2te Extrempunkt sein (was ich total vergessen habe^^)
also bei [mm] \bruch{\pi}{2}+2pi [/mm] aber das wäre auch nur für k = 1...
dann k*x = [mm] \bruch{3\pi}{2} [/mm]
und jetzt den streckungsfaktor mitbeachten und voila wir haben den 2ten extremwert
x = [mm] \bruch{3\pi}{2k} [/mm] // jetzt fehlt es nur noch der "Anhang der Periode"
x = [mm] \bruch{3\pi}{2k}+\bruch{2\pi}{k}
[/mm]
[mm] x_{tiefpunkt}=\bruch{\pi}{k}( \bruch{3}{2}+2\pi)
[/mm]
ist das soweit korrekt gedacht, ich denke schon oder :) ? EDIT : ich weiß das ich nix weiß....aber ich hoffeee, wollte ich damit ausdrücken *g*
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Hallo Daniel!
Aus [mm] $f_k'(x) [/mm] \ = \ [mm] k^2*\cos(k*x) [/mm] \ = \ 0$ erhält man folgende Gleichung, welche gleich die Periodizität für die Nullstellen des [mm] $\cos$ [/mm] berücksichtigt:
[mm] $$\cos(k*x) [/mm] \ = \ 0$$
[mm] $$\gdw [/mm] \ \ k*x \ = \ [mm] \bruch{\pi}{2}+t*2\pi [/mm] \ , \ [mm] t\in\IZ$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] \ \ x \ = \ [mm] \bruch{1}{k}*\left(\bruch{\pi}{2}+t*2\pi\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{k}*\left(\bruch{1}{2}+2t\right)\ [/mm] , \ [mm] t\in\IZ$$
[/mm]
Ob es sich nun um Minima oder Maxima handelt, musst Du durch Einsetzen in die 2. Ableitung [mm] $f_k''(x) [/mm] \ = \ [mm] -k^2*\sin(k*x)$ [/mm] ermitteln.
Gruß vom
Roadrunner
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