Winkelg. vs. Geschwindgkeit < Sonstiges < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ein Fahrzeug fährt stationär auf einer Kreisbahn mit folgenden Daten: R=100m, v=10m/s |
Hallo, ich habe ein kleines Problem mit einer Überlegung.
Ich habe mir mal mittels der Starrkörperformel nach Euler [mm] (\vec{v}=\vec{v_2}+\vec{\omega}\times \vec{R}) [/mm] die Winkelgeschwindigkeit [mm] \omega [/mm] hergeleitet. Mit einem Umweg über Polarkoordinaten und ein paar Kreuzprodukte später, kam ich dann auf [mm] \omega=\frac{v}{R}. [/mm] Eine schnelle Überlegung führt darauf, dass die Einheit hier [v]=m/s, [R]=m => [mm] [\omega]=1/s [/mm] sein muss. Eine weitere Überlegung sagt mir aber, dass die Einheit jedoch rad/s bzw °/s sein müsste, da die Definition von [mm] \omega=\frac{d\psi}{dt}, [/mm] also ein Winkel nach der Zeit abgeleitet, lautet.
Ein Rechenbeispiel verdeutlicht auch noch mal den Unterschied. Mit den gegeben Daten erhalte ich stur eingesetzt [mm] \omega=\frac{v}{R} [/mm] <=> [mm] \omega=\frac{\frac{10m}{s}}{100m}=\frac{0,1}{s}, [/mm] also 1 Umdrehung pro 10 Sekunden.
Wähle ich einen anderen, mir plausibler erscheinenden Ansatz: Der Umfang beträgt rund [mm] U=2*\pi*R=628m, [/mm] so benötigt das Fzg. für diesen Weg [mm] t=\frac{U}{v}=\frac{628m}{\frac{10m}{s}}=62,8s. [/mm]
Ein Kreis (360°) entspricht [mm] 2*\pi*rad, [/mm] also schreiben wir: [mm] \omega=\frac{2*\pi*rad}{62,8s}=\frac{0,1*rad}{s}. [/mm]
Irgendwas muss also an der Geschwindigkeit beim ersten Ansatz falsch sein. Wenn man sich das mal aufmalt, ist diese ja auch in Richtung der Kreisbahn. Ich habe mir den Geschwindigkeitsvektor allerdings tangential (zur Herleitung) an den Kreis gezeichnet.
Zeichnung für Herleitung. Zusätzlich die Polarkoordinaten (Zylinderkoordinaten) eingeführt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Gruß und schon mal vielen Danke für die Hilfen, Rambarainer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Ein Fahrzeug fährt stationär auf einer Kreisbahn mit
> folgenden Daten: R=100m, v=10m/s
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> Hallo, ich habe ein kleines Problem mit einer Überlegung.
> Ich habe mir mal mittels der Starrkörperformel nach Euler
> [mm](\vec{v}=\vec{v_2}+\vec{\omega}\times \vec{R})[/mm] die
> Winkelgeschwindigkeit [mm]\omega[/mm] hergeleitet. Mit einem Umweg
> über Polarkoordinaten und ein paar Kreuzprodukte später,
> kam ich dann auf [mm]\omega=\frac{v}{R}.[/mm]
stimmt.
> Eine schnelle
> Überlegung führt darauf, dass die Einheit hier [v]=m/s,
> [R]=m => [mm][\omega]=1/s[/mm] sein muss.
(1/s)=Hz ... also eine Frequenz
> Eine weitere Überlegung
> sagt mir aber, dass die Einheit jedoch rad/s bzw °/s sein
> müsste,
Richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> da die Definition von [mm]\omega=\frac{d\psi}{dt},[/mm]
> also ein Winkel nach der Zeit abgeleitet, lautet.
>
> Ein Rechenbeispiel verdeutlicht auch noch mal den
> Unterschied. Mit den gegeben Daten erhalte ich stur
> eingesetzt [mm]\omega=\frac{v}{R}[/mm] <=>
> [mm]\omega=\frac{\frac{10m}{s}}{100m}=\frac{0,1}{s},[/mm] also 1
> Umdrehung pro 10 Sekunden.
>
> Wähle ich einen anderen, mir plausibler erscheinenden
> Ansatz: Der Umfang beträgt rund [mm]U=2*\pi*R=628m,[/mm] so
> benötigt das Fzg. für diesen Weg
> [mm]t=\frac{U}{v}=\frac{628m}{\frac{10m}{s}}=62,8s.[/mm]
>
> Ein Kreis (360°) entspricht [mm]2*\pi*rad,[/mm] also schreiben wir:
> [mm]\omega=\frac{2*\pi*rad}{62,8s}=\frac{0,1*rad}{s}.[/mm]
>
> Irgendwas muss also an der Geschwindigkeit beim ersten
> Ansatz falsch sein. Wenn man sich das mal aufmalt, ist
> diese ja auch in Richtung der Kreisbahn. Ich habe mir den
> Geschwindigkeitsvektor allerdings tangential (zur
> Herleitung) an den Kreis gezeichnet.
so soll es auch sein
aber was genau ist jetzt deine Frage ?
Am besten berechnest du die Winkelgeschwindigkeit wahrscheinlich mit [mm] \omega=2*\pi*f
[/mm]
f=v/R=0,1 Hz
--> [mm] \omega=2*\pi*0,1=0,6283 [/mm] rad/s --> was bekanntlich 0,1 Hz sind.
Es ist immer die Frage nach welcher Einheit gesucht wird.
LG Scherzkrapferl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:05 Mi 29.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ein Fahrzeug fährt stationär auf einer Kreisbahn mit
> folgenden Daten: R=100m, v=10m/s
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> Hallo, ich habe ein kleines Problem mit einer Überlegung.
> Ich habe mir mal mittels der Starrkörperformel nach Euler
> [mm](\vec{v}=\vec{v_2}+\vec{\omega}\times \vec{R})[/mm] die
> Winkelgeschwindigkeit [mm]\omega[/mm] hergeleitet. Mit einem Umweg
> über Polarkoordinaten und ein paar Kreuzprodukte später,
> kam ich dann auf [mm]\omega=\frac{v}{R}.[/mm] Eine schnelle
> Überlegung führt darauf, dass die Einheit hier [v]=m/s,
> [R]=m => [mm][\omega]=1/s[/mm] sein muss. Eine weitere Überlegung
> sagt mir aber, dass die Einheit jedoch rad/s bzw °/s sein
> müsste, da die Definition von [mm]\omega=\frac{d\psi}{dt},[/mm]
> also ein Winkel nach der Zeit abgeleitet, lautet.
rad ist keine Einheit, sondern nur eine Bezeichnung, um das Bogenmaß vom Winkel in Grad zu unterscheiden.
1 rad = 1
Die Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist also 1/s. Du kannst auch rad/s schreiben, das macht keinen Unterschied.
Viele Grüße
Rainer
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