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Hallo,
wir hatten heute die Winkelgeschwindigkeit.
(Im folgenden: w statt kleines Omega, Winkel alpha statt Winkel phi).
Es wurde gesagt, dass die Winkelgeschwindigkeit w die erste Ableitung des Winkels [mm] \alpha [/mm] nach der Zeit ist.
w= [mm] \dot \alpha=\bruch{d\alpha}{dt}
[/mm]
Das heißt ich kann die Funktion [mm] w(t)=\bruch{\alpha}{t} [/mm] (so richtig?) aufleiten und erhalte [mm] \alpha(t) [/mm] ?
Lasse ich fürs integrieren das infinitesimal-d weg?
Ich habe raus für
[mm] \alpha(t)= \integral [/mm] w(t)dt = [mm] \bruch{(\alpha)^{2}}{t(\alpha+t)} [/mm] +c
Das ist wahrscheinlich nicht richtig. Wie schauts denn richtig aus?
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Hallo Mathe-Andi,
> Hallo,
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> wir hatten heute die Winkelgeschwindigkeit.
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> (Im folgenden: w statt kleines Omega, Winkel alpha statt
> Winkel phi).
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> Es wurde gesagt, dass die Winkelgeschwindigkeit w die erste
> Ableitung des Winkels [mm]\alpha[/mm] nach der Zeit ist.
>
> w= [mm]\dot \alpha=\bruch{d\alpha}{dt}[/mm]
Wieso ersetzt du die Variablen? Schreibe doch einfach:
$ [mm] \omega [/mm] = [mm] \dot \varphi [/mm] = [mm] \bruch{d \varphi}{dt} [/mm] $
> Das heißt ich kann die Funktion [mm]w(t)=\bruch{\alpha}{t}[/mm] (so
> richtig?)
Nein, dies stimmt im allgemeinen nicht:
Für eine translatorische Bewegung gilt ja: $ v = [mm] \dot [/mm] x = [mm] \bruch{dx}{dt} [/mm] $
NUR bei KONSTANTER Geschwindigkeit (ohne Beschleunigung) gilt: $ v = [mm] \bruch{x}{t} [/mm] $ (im allgemeinen aber nicht)
Ganz genauso gilt $ [mm] \omega [/mm] = [mm] \bruch{\varphi}{t}$ [/mm] NUR für Bewegungen mit KONSTANTER Winkelgeschwindigkeit, ansonsten nicht.
> aufleiten und erhalte [mm]\alpha(t)[/mm] ?
Bei der geradlinigen Bewegung eines Massenpunktes gilt, dass Masse mal Beschleunigung gleich der Summe aller Kräfte ist:
$m [mm] \ddot [/mm] x = [mm] \summe_{i}^{} F_i$
[/mm]
Durch zweimaliges Integrieren kann man daraus $ x(t) $ berechnen.
Für eine rotatorische Bewegung gilt ganz analog:
[mm] $\Theta \ddot \varphi [/mm] = [mm] \summe_{i}^{} M_i [/mm] $ mit dem Massenträgheitsmoment [mm] $\Theta$ [/mm] und den Drehmomenten [mm] $M_i$.
[/mm]
Durch zweimaliges Integrieren kann hieraus nun [mm] $\varphi(t)$ [/mm] berechnet werden.
> Lasse ich fürs integrieren das infinitesimal-d weg?
>
> Ich habe raus für
>
> [mm]\alpha(t)= \integral[/mm] w(t)dt =
> [mm]\bruch{(\alpha)^{2}}{t(\alpha+t)}[/mm] +c
Das Aufstellen dieser Gleichung macht nur Sinn, wenn man den zeitlichen Verlauf der Winkelgeschwindigkeit [mm] $\dot \varphi [/mm] (t)$ kennt. Ist dieser bekannt, kann man durch Integrieren den Winkel $ [mm] \varphi(t) [/mm] $ berechnen:
[mm] $\dot \varphi [/mm] = [mm] \bruch{d \varphi}{dt} \Rightarrow \varphi [/mm] (t) = [mm] \integral_{}^{}{\dot \varphi (t) dt}$
[/mm]
> Das ist wahrscheinlich nicht richtig. Wie schauts denn
> richtig aus?
Wie gesagt, um eine konkrete Funktion hierfür angeben zu können, muss [mm] $\dot \varphi [/mm] (t)$ bekannt sein...
Grüße
franzzink
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