Winkelhalbierende: E in ANF < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Do 12.05.2005 | | Autor: | elvis |
Hi,
ich hab ein Problem bei einer Aufgabe. Gesucht ist die Winkelhalbierende zwischen zwei Ebenen. Die Ebenen sind beide in Normalform (also [x - p] n = 0 ) gegeben.
Die Vorgehensweise is mir eigentlich klar:
-Schnittgerade bestimmen
-Normalvektoren addieren
-> aus beidem zusammen die Ebene erstellen die die Winkelhalbierenden "beherbergt"
Das Problem ist, das ich es einfach nicht hinbekomme, die Schnittgerade zwischen den Ebenen auszurechnen. In Parameterform geht das ja einfach durch gleichsetzen, aber wie geht das wenn die in Normalform sind?
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo elvis,
> ich hab ein Problem bei einer Aufgabe. Gesucht ist die
> Winkelhalbierende zwischen zwei Ebenen. Die Ebenen sind
> beide in Normalform (also [x - p] n = 0 ) gegeben.
> Die Vorgehensweise is mir eigentlich klar:
> -Schnittgerade bestimmen
> -Normalvektoren addieren
> -> aus beidem zusammen die Ebene erstellen die die
> Winkelhalbierenden "beherbergt"
Dabei ist zu beachten, daß man die Normalenvektoren vom Betrag 1 beider Ebenen nimmt und addiert.
> Das Problem ist, das ich es einfach nicht hinbekomme, die
> Schnittgerade zwischen den Ebenen auszurechnen. In
> Parameterform geht das ja einfach durch gleichsetzen, aber
> wie geht das wenn die in Normalform sind?
multipliziere die Normalformen aus.
[mm]\begin{gathered}
a_{1} \;x_{1} \; + \;b_{1} \;x_{2} \; + \;c_{1} \;x_{3} \; = \;d_{1} \hfill \\
a_{2} \;x_{1} \; + \;b_{2} \;x_{2} \; + \;c_{2} \;x_{3} \; = \;d_{2} \hfill \\
\end{gathered}[/mm]
Das sind die Koordinatendarstellungen der beiden Ebenen.
Löse nun das entstandene Gleichungssystem.
Falls Du nicht weißt, wie man von der Normalform auf die Koordinatendarstellung einer Ebene kommt:
[mm]\begin{gathered}
\left( {x\; - \;p} \right)\;n\; = \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{x_{1} \; - \;p_{1} } \\
{x_{2} \; - \;p_{2} } \\
{x_{3} \; - \;p_{3} } \\
\end{array} } \right)\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{n_{1} } \\
{n_{2} } \\
{n_{3} } \\
\end{array} } \right)\; = \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \;\left( {x_{1} \; - \;p_{1} } \right)\;n_{1} \; + \;\left( {x_{2} \; - \;p_{2} } \right)\;n_{2} \; + \;\left( {x_{3} \; - \;p_{3} } \right)\;n_{3} \; = \;0 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
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